ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ  -  ΟΡΙΣΜΟΙ

Έστω ανοιχτό διάστημα (φραγμένο ή μη) () και ανοιχτό υποσύνολο του , .

Ορισμός 1: Αν είναι μια πραγματική συνάρτηση μεταβλητών και μια άγνωστη συνάρτηση, η εξίσωση

, (1)

όπου , , ονομάζεται συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ.Δ.Ε.).

Ορισμός 2: Η (1) ονομάζεται Σ.Δ.Ε. τάξης όταν η συνάρτηση δεν είναι σταθερή ως προς τη μεταβλητή , δηλ. όταν η μεγαλύτερης τάξης παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης που εμφανίζεται στην εξίσωση είναι η .

Ορισμός 3: Ονομάζουμε λύση της (1) κάθε πραγματική συνάρτηση η οποία είναι φορές παραγωγίσιμη στο ενώ παράλληλα για κάθε ισχύουν τα εξής:

,

.

Το στην εξίσωση (1) ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή και το άγνωστη συνάρτηση. Το γράφημα μιας λύσης ονομάζεται ολοκληρωτική καμπύλη της (1).

Ορισμός 4: Αν μια Σ.Δ.Ε. τάξης μπορεί να γραφεί στη μορφή

, (2)

όπου είναι μια πραγματική συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα ανοικτό υποσύνολο του , τότε θα λέμε ότι η (2) είναι η κανονική ή λυμένη της μορφή.

Σημείωση: H μορφή (1) μιας Σ.Δ.Ε. θα λέγεται γενική ή πεπλεγμένη.

Ορισμός 5: Έστω ότι δίνεται η διαφορική εξίσωση (2) και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της . Το πρόβλημα της εύρεσης μιας λύσης της (2) η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες

, (3)

λέγεται πρόβλημα αρχικών τιμών ή πρόβλημα Cauchy για την (2).

Οι συνθήκες (3) ονομάζονται αρχικές συνθήκες ή συνθήκες Cauchy.

Ορισμός 6: Μια συνάρτηση

(4)

που εξαρτάται από πραγματικές σταθερές , θα λέγεται γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (2) όταν

(i) για κάθε σημείο , όπου ανοικτό υποσύνολο του , η (1.4) είναι λύση της (2)

(ii) για κάθε σημείο , όπου ανοικτό υποσύνολο του πεδίου ορισμού της , υπάρχει ακριβώς ένα σημείο τέτοιο ώστε η να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες (3).

Η λύση που παίρνουμε για μια συγκεκριμένη επιλογή των σταθερών , ονομάζεται μερική λύση της διαφορικής εξίσωσης (2).

Ορισμός 7: Αν είναι ένα ανοικτό υποδιάστημα του , θα λέμε ότι το σύστημα

, ,

παράγει τη λύση της (2) υπό παραμετρική μορφή αν και μόνον αν οι συναρτήσεις , είναι φορές παραγωγίσιμες, η είναι αντιστρέψιμη και η σύνθετη συνάρτηση

Ορισμός 8: Το σύστημα των ισοτήτων

,

…….……………………….. (5)

,

θα λέμε ότι αποτελεί ένα γενικό ολοκλήρωμα της (2) όταν για κάθε σημείο, όπου ανοικτό υποσύνολο του , υπάρχει λύση της (2) η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις (5) και, αντίστροφα, όταν κάθε φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τις (5) είναι λύση της (2).

Παρατήρηση: H διαδικασία προσδιορισμού των λύσεων μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται επίλυση ή ολοκλήρωση της εξίσωσης.

[Επιστροφή στα Περιεχόμενα]