Ορισμός 1. Μια διαφορική εξίσωση της μορφής

, (1)

όπου οι και είναι δοθείσες πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες σ’ένα ανοικτό διάστημα , ονομάζεται γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης n.

Ορισμός 2. Αν στο διάστημα τότε η (1) θα λέγεται ομογενής ενώ στην αντίθετη περίπτωση μη-ομογενής. Γενικά, η συνάρτηση ονομάζεται μη- ομογενής όρος ή όρος εξαναγκασμού.

Ορισμός 3. Ένα σημείο θα λέγεται ομαλό ή συνηθισμένο σημείο της (1) αν ενώ αν θα λέγεται ανώμαλο ή ιδιάζον σημείο.

Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι όλα τα σημεία του διαστήματος είναι ομαλά σημεία της (1). Διαιρώντας έτσι με το συντελεστή , η (1) γράφεται στη μορφή

, (2)

όπου και .

Θεώρημα 1. (Ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του προβλήματος αρχικών τιμών)

Έστω σημείο και τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί . Αν οι συναρτήσεις και είναι συνεχείς στο , τότε υπάρχει ακριβώς μια λύση της εξίσωσης (2) η οποία ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες

. (3)

Ορισμός 4. (Έννοια της μιγαδικής λύσης)

Έστω και πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες σ’ ένα διάστημα . Μια μιγαδική συνάρτηση (όπου , είναι πραγματικές συναρτήσεις και ) θα λέγεται ότι είναι λύση της εξίσωσης (2) αν και μόνον αν η είναι λύση της (2) και η είναι λύση της αντίστοιχης ομογενούς.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ:

    , , , .

    [Υπόδειξη] , [Λύση]

2. Το πρόβλημα αρχικών τιμών

    , ,

    έχει ως λύσεις τις συναρτήσεις και . Γιατί αυτό δεν έρχεται σε αντίθεση με το Θεώρημα 1 ;

    [Λύση]

    , , ,

   δεν έχει λύση.

   [Υπόδειξη] , [Λύση]

[Επιστροφή στα Περιεχόμενα]