. Τότε, αφού το Α είναι και
κάτω φραγμένω, από την 2.6.,2.8. Εστω Α το σύνολο των φυσικών n ³ k για τους οποίους η P(n) δεν ισχύει.
Αρκεί να δείξω ότι το Α είναι κενό. Αυτό γίνεται με την εις άτοπον επαγωγή:
Εστω ότι Α . Τότε, αφού το Α είναι και
κάτω φραγμένω, από την 2.6.,
υπάρχει ένας φυσικός αριθμός m ο οποίος είναι το πρώτο στοιχείο του Α.
Tώρα m ³ k +1, αφού
η P(k) ισχύει. Επίσης, m - 1 
Α, άρα η P(m -
1) ισχύει.
Από την (ιι), αφού m - 1 ³
k, και η P(m) ισχύει. Αρα m 
Α, πράγμα άτοπο!