2.13. Γίνεται με επαγωγή, όπου για κάθε φυσικό αριθμό n ³ 10, P(n) είναι η
πρόταση ότι ισχύει η ανισότητα της άσκησης.
Η P(10) ισχύει αφού 210 = 1024 > 1000.
Εστω ότι η P(n) ισχύει, δηλ. 2n > n3, όπου n ³ 10.
Από την άσκηση 2.8. μένει να δείξω ότι η P(n +1) ισχύει,
δηλ. 2n+1 > (n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1.
Παρατηρώ ότι n3 > 9n2 > 3n2 + 3n + 1, λόγω του ότι n ³ 10. Aρα,
2n+1 = 2.2n > 2n3 = n3 + n3 > n3 + 3n2 + 3n + 1 = (n + 1)3. Ο.ε.δ.