5. Διμελείς πράξεις

Μια (διμελής) πράξη * σε σύνολο S είναι ένας κανόνας ο οποίος σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος (a, b) μλών a, b του S αντιστοιχίζει ένα και μοναδικό στοιχείο του S, το οποίο συμβολίζεται με a * b.

Εστω * πράξη σε σύνολο S. Η * λέγεται προσεταιριστική αν a * ( b * c ) = ( a * b ) * c για όλα τα μέλη a, b, c του S. Λέγεται αντιμεταταθετική αν a * b = b * a για όλα τα μέλη a, b του S. Ενα στοιχείο e του S λέγεται ταυτοτικό ή (ουδέτερο) στοιχείο της * αν e * a = a = a * e για όλα τα μέλη a του S. Αν το S έχει ταυτοτικό στοιχείο e και a * b = e = b * a, τότε το b λέγεται (ένα) αντίστροφο στοιχείο του a.

Θεώρημα 5.1. Το ταυτοτικό στοιχείο πράξης * σε σύνολο S, αν υπάρχει, είναι μοναδικό.

Θεώρημα 5.2. Εστω S σύνολο εφοδιασμένο με προσεταιριστική πράξη * η οπoία έχει ταυτοτικό στοιχείο. Τότε το αντίστροφο στοιχείου a του S, αν υπάρχει, είναι μοναδικό.

Πίνακες πολλαπλασιασμού.

Ασκήσεις

 

5.1. Εξετάστε αν η πράξη * στο Q είναι προσεταιριστική, αντιμεταθετική ή έχει ταυτοτικό στοιχείο, όπου

(1) x * y = x y

Λύση

(2) x * y = 2x + 3y

Λύση

και

(3) x * y = 3xy

Λύση

5.2. Για τις πράξεις της 5.1. που έχουν ταυτοτικό στοιχείο, ποια στοιχεία του Q έχουν αντίστροφο στοιχείο;

Λύση

5.3. Εστω * προσεταιριστική πράξη σε σύνολο S και a, b, c, d στοιχεία του S. Δείξτε ότι τα εξής στοιχεία του S είναι ίσα: 

a * (b * (c * d)), (a * b) * (c * d), (a * (b * c)) * d, a * ((b * c) * d), (a * (b * c)) * d.

Λύση

5.4. Εστω * προσεταιριστική πράξη σε σύνολο S και a, b, c, d, e στοιχεία του S. Δείξτε ότι (a * b) * ((c * d) * e) = (a * (b * c)) * (d * e).

Λύση

Προφανώς οι παρενθέσεις μπορούν να παραλειφθούν όταν η πράξη είναι προσεταιριστική!

 

Επιστροφή στα περιεχόμενα