6. Ομάδες

 

Μια ομάδα < G, * > είναι ένα σύνολο G εφοδιασμένο με μια πράξη * η οποία ικανοποιεί τα τρία αξιώματα :

(ι) η * είναι προσεταιριστική

(ιι) η * έχει ταυτοτικό στοιχείο e

(ιιι) κάθε μέλος a του S έχει αντίστροφο στοιχείο a΄ στο S.

Μια ομάδα λέγεται αβελιανή αν η πράξη της είναι αντιμεταθετική.

Στοιχειώδη παραδείγματα.

H ομάδα του Klein V = { 1, α, β, γ }.

 

Θεώρημα 6.1. Σε ομάδα < G, * >, ισχύουν :

(1) a * b = a * c b = c. (Aριστερός νόμος διαγραφής ή απλοποίησης).

(2) b * a = c * a b = c. (Δεξιός νόμος διαγραφής ή απλοποίησης).

 

Θεώρημα 6.2. Σε ομάδα < G, * >, οι γραμμικές εξισώσεις a * x = b και x * a = b έχουν μοναδικές λύσεις.

 

Ασκήσεις

6.1. Στο R+ η * ορίζεται μέσω της x * y = 5xy. Δείξτε ότι το < R+, * > αποτελεί ομάδα.

Λύση

Βρείτε ολες τις λύσεις των:

(1) 4 * x = 100

Λύση

(2) 4 * x * 1 = 100

Λύση

και

(3) x * 5 * x = 500

Λύση

6.2. Δείξτε ότι στο R {1} ορίζεται μια πράξη μέσω της x * y = xy x y + 2. Στη συνέχεια δείξτε ότι η < R {1}, * > αποτελεί αβελιανή ομάδα. Λύστε την εξίσωση 4 * 5 * x = 13.

Λύση

6.3. Εστω * προσεταιριστική πράξη σε σύνολο G . Εστω επίσης ότι (1) το G περιέχει αριστερό ταυτοτικό στοιχείο, δηλ. ένα στοιχείο e που ικανοποιεί e * x = x για όλα τα μέλη x του G, και (2) κάθε a του G έχει αριστερό αντίστροφο στο G, δηλ.υπάρχει a΄ στο G με a΄ * a = e. 

Δείξτε ότι

(3) a * b = a * c b = c.

Λύση

(4) a * e = a, " a G.

Λύση

(5) a * a΄ = e, " a G.

Λύση

και

(6) To < G, * > αποτελεί ομάδα.

Λύση

6.4. Διατυπώστε το αντίστοιχο αποτέλεσμα για τα δεξιά στοιχεία.

Λύση

6.5. Στο R* η πράξη * ορίζεται μέσω της a * b = a. Να προσδιορίσετε αν η πράξη είναι αντιμεταθετική ή προσεταιριστική, αν έχει αριστερό ή δεξιό ταυτοτικό στοιχείο και αν κάθε στοιχείο a έχει αριστερό ή δεξιό αντίστροφο. Είναι η < R*, * > ομάδα ;

Λύση

6.6. Βρείτε όλες τις λυσεις τις x * x = x σε ομάδα < G, * >.

Λύση

6.7. Δείξτε ότι (a * b)΄ = b΄ * a΄ για όλα τα μέλη a, b ομάδας < G, * >.

Λύση

6.8. Αν για όλα τα μέλη a, b ομάδας < G, * > ισχύει (a * b)΄ = a΄ * b΄, δείξτε ότι η G είναι αβελιανή.

Λύση

 

Επιστροφή στα περιεχόμενα