T 
a *
b 
T.7. Υποομάδες
Eστω S σύνολο
όπου ορίζεται
μια πράξη *. Ενα
υποσύνολο T του
S λέγεται
κλειστό ως
προς την * αν:
a, b T
a *
b T.
Σ’αυτό το κεφάλαιο, <
G, * > παριστάνει μια ομάδα. Το ταυτοτικό στοιχείο της G συμβολίζεται με e, και το αντίστροφο στοιχείου a της G συμβολίζεται με το a΄.
Ενα υποσύνολο Η του
G λέγεται υποομάδα της < G, * > αν το Η είναι κλειστό ως προς την * και το < Η, * > αποτελεί ομάδα.
Θεώρημα 7.1
. Εστω Η υποομάδα ομάδας < G, * >. Τότε(1) το ταυτοτικό στοιχείο της Η ισούται με το ταυτοτικό στοιχείο e της G, και
(2) στην Η, το αντίστροφο στοιχείου a ισούται με το αντίστροφο a΄ του a στην G.
. Εστω <G,*> ομάδα. Ενα υποσύνολο Η του G αποτελεί υποομάδα της G ανν
(1) Το Η είναι κλειστό ως προς την *
(2) e 
H, και
(3) a΄ 
H για κάθε a 
H.
Ασκήσεις
7.1. Να
επαληθεύσετε
ότι το nZ = { mn : m 
Z } αποτελεί
υποομάδα της < Ζ,
+ > για
κάθε ακέραιο n.
7.2. Ποια από τα N, Ζ, Q, Q*, Q+, nZ είναι υποομάδες της < R, + >.
7.3. Ποια από τα N, Ζ*, Q*, Q+, nZ* είναι υποομάδες της < R*, . >.
7.4. Να
επαληθεύσετε
ότι το Un = { z 
C : zn = 1 } αποτελεί
υποομάδα της < C*,
. > για
κάθε φυσικό
αριθμό n.
7.5. Εστω <
G, * > ομάδα,
και Η μη κενό
υποσύνολο του G
τ.ω. (#) a, b 
H 
a * b΄
H. Να
δείξετε ότι η Η
είναι υποομάδα
της G.
Ορολογία
Στο εξής η πράξη μιας τυχαίας ομάδας συμβολίζεται με ., το ταυτοτικό στοιχείο με
e (σε συγκεκριμένες ομάδες όπως η R* με 1) και το αντίστροφο στοιχείου a με a-1. Αντί του a.b συνήθως γράφουμε απλώς ab.Συχνά σε αβελιανές ομάδες η πράξη συμβολίζεται με +. Σε τέτοια περίπτωση το ταυτοτικό στοιχείο συμβολίζεται με 0 και το αντίστροφο στοιχείου a με -
a. Επίσης, γράφουμε a - b αντί a + (- b).Επιστροφή στα περιεχόμενα