7. Υποομάδες

 

Eστω S σύνολο όπου ορίζεται μια πράξη *. Ενα υποσύνολο T του S λέγεται κλειστό ως προς την * αν: a, b T a * b T.

 

Σαυτό το κεφάλαιο, < G, * > παριστάνει μια ομάδα. Το ταυτοτικό στοιχείο της G συμβολίζεται με e, και το αντίστροφο στοιχείου a της G συμβολίζεται με το a΄.

 

Ενα υποσύνολο Η του G λέγεται υποομάδα της < G, * > αν το Η είναι κλειστό ως προς την * και το < Η, * > αποτελεί ομάδα.

 

Θεώρημα 7.1. Εστω Η υποομάδα ομάδας < G, * >. Τότε

(1) το ταυτοτικό στοιχείο της Η ισούται με το ταυτοτικό στοιχείο e της G, και

(2) στην Η, το αντίστροφο στοιχείου a ισούται με το αντίστροφο a΄ του a στην G.

 

Θεώρημα 7.2. Εστω <G,*> ομάδα. Ενα υποσύνολο Η του G αποτελεί υποομάδα της G ανν

(1) Το Η είναι κλειστό ως προς την *

(2) e H, και

(3) a΄ H για κάθε a H.

 

Ασκήσεις

7.1. Να επαληθεύσετε ότι το nZ = { mn : m Z } αποτελεί υποομάδα της < Ζ, + > για κάθε ακέραιο n.

Λύση

7.2. Ποια από τα N, Ζ, Q, Q*, Q+, nZ είναι υποομάδες της < R, + >.

Λύση

7.3. Ποια από τα N, Ζ*, Q*, Q+, nZ* είναι υποομάδες της < R*, . >.

Λύση

7.4. Να επαληθεύσετε ότι το Un = { z C : zn = 1 } αποτελεί υποομάδα της < C*, . > για κάθε φυσικό αριθμό n.

Λύση

7.5. Εστω < G, * > ομάδα, και Η μη κενό υποσύνολο του G τ.ω. (#) a, b H a * b΄ H. Να δείξετε ότι η Η είναι υποομάδα της G.

Λύση

 

 

 

Ορολογία

Στο εξής η πράξη μιας τυχαίας ομάδας συμβολίζεται με ., το ταυτοτικό στοιχείο με e (σε συγκεκριμένες ομάδες όπως η R* με 1) και το αντίστροφο στοιχείου a με a-1. Αντί του a.b συνήθως γράφουμε απλώς ab.

Συχνά σε αβελιανές ομάδες η πράξη συμβολίζεται με +. Σε τέτοια περίπτωση το ταυτοτικό στοιχείο συμβολίζεται με 0 και το αντίστροφο στοιχείου a με - a. Επίσης, γράφουμε a - b αντί a + (- b).

 

Επιστροφή στα περιεχόμενα