9. Οι ομάδες Ζn

 

Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός.

Αντί του συχνά γράφουμε k, αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης με το k της Ζ.

 

Θεώρημα 9.1. Το < Ζn, + > είναι κυκλική ομάδα.

 

Θεώρημα 9.2. Στο Ζn, ένα στοιχείο έχει αντίστροφο ως προς τον πολλαπλασιασμό ανν μκδ(m, n) = 1.

 

Θεώρημα 9.3. Το Ζn*= Ζn {0} ως προς τον πολλαπλασιασμό είναι κλειστό ανν ο αριθμός n είναι πρώτος. Αν ο n είναι πρώτος, το < Ζn*, . > είναι αβελιανή ομάδα.

 

Aσκήσεις

 

9.1. Βρείτε όλους τους γεννήτορες της Ζ9.

Υπόδειξη

Λύση

9.2. Βρείτε όλους τους γεννήτορες της Ζ12.

Λύση

9.3. Βρείτε όλες τις λύσεις της 5x + 7 = 3 mod12, δηλ. στην Ζ12.

Λύση

9.4. Βρείτε όλες τις λύσεις της 3x + 15 = 3 mod6.

Λύση

9.5. Βρείτε όλες τις λύσεις της 2x + 7 = 16 mod8.

Λύση

Στις επόμενες τρεις ασκήσεις a είναι ο φυσικός αριθμός ak10k + a2102 + a110 + a0, όπου a0, a1, ,ak είναι ακέραιοι.

9.6. Δείξτε ότι : 3 a 3 ak + a2 + a1 + a0.

Λύση

9.7. Δείξτε ότι : 9 a 3 ak + a2 + a1 + a0.

Λύση

9.8. Δείξτε ότι : 11 a 3 a0 a1 + a2 a3.

Λύση

9.9. Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης 3614 : 5.

Λύση

9.10. Βρείτε το τελευταίο ψηφίο του 3614.

Λύση

9.11. Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης 36014 : 7.

Λύση

9.12. Δείξτε ότι 1000 = -1mod7.

Λύση

9.13. Bρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης 34563799547986 : 7.

Λύση

9.14. Η πρώτη μέρα του 1998 ήταν Πέμπτη. Τι μέρα θα είναι η πρωτοχρονιά του 1999, του 2000 και του 2001. Σημειώστε ότι το 2000 είναι δίσεκτο έτος.

Λύση

9.15. Η 17 Νοεμβρίου το 1998 ήταν Τρίτη. Τι μέρα ήταν το 1973.

Λύση

9.16. Η γιαγιά η Καλλιόπη πάντα ισχυρίζεται ότι γεννήθηκε την Κυριακή, 18 Νοεμβρίου του 1920. Καλά τα λέει;

Λύση

9.17. Τρίτη και δεκατρείς! Πόσες τέτοιες μέρες έχει ένα έτος; Πόσες τέτοιες μέρες έχει (i) το 1997, (ii) το 1998, (iii) το 2000, (iv) το 2001, (v) το 2004, και (vi) το 2012;

Λύση

 

Επιστροφή στα περιεχόμενα