index09

9. Οι ομάδες Ζ_n

Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός.

Αντί του συχνά γράφουμε k, αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης με το k της Ζ.

Θεώρημα 9.1. Το < Ζ_n, + > είναι κυκλική ομάδα.

Θεώρημα 9.2. Στο Ζ_n, ένα στοιχείο έχει αντίστροφο ως προς τον πολλαπλασιασμό ανν μκδ(m, n) = 1.

Θεώρημα 9.3. Το Ζ_n^*= Ζ_n – {0} ως προς τον πολλαπλασιασμό είναι κλειστό ανν ο αριθμός n είναι πρώτος. Αν ο n είναι πρώτος, το < Ζ_n^*, .> είναι αβελιανή ομάδα.

Aσκήσεις

9.1. Βρείτε όλους τους γεννήτορες της Ζ₉.

Υπόδειξη

9.2. Βρείτε όλους τους γεννήτορες της Ζ₁₂.

9.3. Βρείτε όλες τις λύσεις της 5x + 7 = 3 mod12, δηλ. στην Ζ₁₂.

9.4. Βρείτε όλες τις λύσεις της 3x + 15 = 3 mod6.

9.5. Βρείτε όλες τις λύσεις της 2x + 7 = 16 mod8.

Στις επόμενες τρεις ασκήσεις a είναι ο φυσικός αριθμός a_k10^k + … a₂10² + a₁10 + a₀, όπου a₀, a_1, … ,a_kείναι ακέραιοι.

9.6. Δείξτε ότι : 3½ a 3½ a_k+ … a₂ + a₁ + a₀.

9.7. Δείξτε ότι : 9½ a 3½ a_k+ … a₂ + a₁ + a₀.

9.8. Δείξτε ότι : 11½ a 3½ a₀– a₁ + a₂ – a₃….

9.9. Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης 3⁶¹⁴: 5.

9.10. Βρείτε το τελευταίο ψηφίο του 3⁶¹⁴.

9.11. Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης 3⁶⁰¹⁴: 7.

9.12. Δείξτε ότι 1000 = -1mod7.

9.13. Bρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης 34563799547986: 7.

9.14. Η πρώτη μέρα του 1998 ήταν Πέμπτη. Τι μέρα θα είναι η πρωτοχρονιά του 1999, του 2000 και του 2001. Σημειώστε ότι το 2000 είναι δίσεκτο έτος.

9.15. Η 17 Νοεμβρίου το 1998 ήταν Τρίτη. Τι μέρα ήταν το 1973.

9.16. Η γιαγιά η Καλλιόπη πάντα ισχυρίζεται ότι γεννήθηκε την Κυριακή, 18 Νοεμβρίου του 1920. Καλά τα λέει;

9.17. Τρίτη και δεκατρείς! Πόσες τέτοιες μέρες έχει ένα έτος; Πόσες τέτοιες μέρες έχει (i) το 1997, (ii) το 1998, (iii) το 2000, (iv) το 2001, (v) το 2004, και (vi) το 2012;

Επιστροφή στα περιεχόμενα