11. Ομάδες μεταθέσεων

 

Μια 1-1 και επί συνάρτηση Α A λέγεται και μετάθεση του Α.

είναι το σύνολο των μεταθέσεων του Α. Eίναι ομάδα ως προς την σύνθεση συναρτήσεων.

Για φυσικό αριθμό n, Sn συμβολίζει την SA, όπου A = {1, 2, 3, ... , n}. Η Sn αποτελείται από n! στοιχεία.

Η μετάθεση της Sn που στέλνει το i στο mi συμβολίζεται με .

Tα στοιχεία της S3 είναι :

ρ = , ρ2 = , ρ3 = e, μ1 = , μ2 = και μ3 =

Η S3 ταυτίζεται με τη διεδρική ομάδα D3, η οποία αποτελείται από όλες τις συμμετρίες του ισόπλευρου τριγώνου. Αν οι κορυφές του τριγώνου ονομαστούν 1, 2, 3, τότε η ρ παριστάνει στροφή 120 γύρω από το κέντρο του τριγώνου, η μ1 παριστάνει ανάκλαση ως προς την διχοτόμο της γωνίας 1, κ.ο.κ.

Η διεδρική ομάδα D4, η οποία αποτελείται από όλες τις συμμετρίες του τετραγώνου, είναι υποομάδα της S4. Αποτελείται από την στροφή 90 γύρω από το κέντρο του τριγώνου ρ = , ρ2, ρ3, ρ4 = e, δύο ανακλάσεις ως προς τις μεσοκαθέτους μ1 = , μ2 = , και δύο ανακλάσεις ως προς τις διαγωνίους δ1 = , δ2 = .

 

Ασκήσεις

 

11.1. Nα κάνετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού της S3.

Λύση

11.2. Δείξτε ότι η S3 δεν είναι αβελιανή.

Λύση

11.3. Βρείτε την τάξη των στοιχείων ρ, μ1 και ρμ1 της S3.

Λύση

11.4. Δείξτε ότι η D4 δεν είναι αβελιανή.

Υπόδειξη

Λύση

11.5. Βρείτε την τάξη όλων των στοιχείων της D4. Υπολογίστε το ρ27.

Λύση

11.6.Βρείτε όλα τα αριστερά και όλα τα δεξιά σύμπλοκα της υποομάδας Η = <μ1> της S3.

Λύση

11.7. Δώστε ένα παραδειγμα υποομάδας Η ομάδας G όπου ισχύει aH = Ha για όλα τα στοιχεία a της G

Λύση

και ένα παράδειγμα όπου δεν ισχύει.

Λύση

11.8. Δείξτε ότι η άσκηση 8.13. δεν ισχύει χωρίς την συνθήκη ab = ba.

Λύση

11.9. Σε αβελιανή ομάδα, αν παραλειφθεί η συνθήκη μκδ( , ) = 1, ισχύει ότι ή διαιρεί την ;

Υπόδειξη

Λύση

 

Επιστροφή στα περιεχόμενα