12. Ομομορφισμοί

 

Εστω G, H ομάδες. Μια συνάρτηση φ : G H λέγεται ομομορφισμός ομάδων αν για όλα τα στοιχεία x, y της G, ισχύει φ(x y) = φ(x) φ(y).

Με περισσότερη σαφήνεια, πρέπει να ισχύει : φ(x * y) = φ(x) φ(y), όπου * είναι η πράξη της G και η πράξη της Η.

 

Θεώρημα 12.1. Εστω φ : G H ομομορφισμός ομάδων. Εστω e1, e2 τα ταυτοτικά στοιχεία των G, H, αντίστοιχα. Τότε

(1) φ(e1) = e2

(2) φ(x-1) = (φ(x))-1, " x G

(3) φ(xn) = (φ(x))n, " x G και " n N

(4) φ(xn) = (φ(x))n, " x G και " n Z.

 

Θεώρημα 12.2. Εστω φ : G H επιμορφισμός ομάδων. Αν η G είναι αβελιανή, τότε και η H είναι αβελιανή. Αν η G είναι κυκλική, τότε και η H είναι κυκλική.

 

Θεώρημα 12.3. Εστω φ : G1 G2 και ψ : G2 G3 ομομορφισμοί ομάδων. Τότε και η σύνθεσή τους ψφ είναι ομομορφισμός. Αν φ και ψ είναι μονομορφισμοί ή επιμορφισμοί ή ισομομορφισμοί, το ίδιο ισχύει για την ψφ.

 

Θεώρημα 12.4. Εστω φ : G H ισομορφισμός ομάδων. Τότε και η αντίστροφη συνάρτηση φ-1 : Η G είναι ισομορφισμός ομάδων.

 

Γράφουμε G ~ H αν υπάρχει ισομορφισμός ομάδων φ : G H.

 

Θεώρημα 12.5. Η ~ είναι σχέση ισοδυναμίας.

 

Αν G ~ H οι δύο ομάδες G, H λέγονται ισομορφικές. Η Αλγεβρα δεν διακρίνει μεταξύ δύο ισομορφικών ομάδων γιατί έχουν τις ίδιες αλγεβρικές ιδιότητες. Π.χ.(1) έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων, (2) αν η μια είναι αβελιανή ή κυκλική το ίδιο ισχύει και για την άλλη.

 

Θεώρημα 12.6. Δύο άπειρες κυκλικές ομάδες είναι ισόμορφες.

 

Πόρισμα 12.1. Η μόνη άπειρη κυκλική ομάδα είναι η Ζ.

 

Θεώρημα 12.7. Δύο πεπερασμένες κυκλικές ομάδες της ίδιας τάξης είναι ισoμορφικές.

 

Πόρισμα 12.2. Η μόνη κυκλική ομάδα ταξεως n είναι η Ζn.

 

Ασκήσεις

 

12.1. Δείξτε ότι η φ : Ζ Ζn, όπου φ(x) =, είναι oμομορφισμός.

Λύση

12.2. Δείξτε ότι η φ : R R+, όπου φ(x) = ex, είναι ομομορφισμός.

Λύση

12.3. Δείξτε ότι η φ : R R*, όπου φ(x) = 2x, είναι ομομορφισμός.

Λύση

12.4. Ποιες από τις παραπάνω συναρτήσεις είναι:

(1) μονομορφισμοί ,

Λύση

(2) επιμορφισμοί ,

Λύση

ή

(3) ισομορφισμοί ;

Λύση

12.5. Ποιες από τις συναρτήσεις φ, ψ, ω : R R, όπου φ(x) = 3x + 2, ψ(x) = 4x και ω(x) = x2, είναι oμομορφισμοί, μονομορφισμοί, επιμορφισμοί ή ισομορφισμοί ;

Λύση

12.6. Είναι η φ : R* R*, όπου φ(x) = | x| , είναι ομομορφισμός;

Λύση

12.7. Είναι η φ : R R, όπου φ(x) = | x| , είναι ομομορφισμός;

Λύση

12.8. Πόσες ομάδες τάξεως 1, 2, 3, 5 ή 7 υπάρχουν ;

Λύση

12.9. Εστω G = { e, x, y, z } μη κυκλική ομάδα ταξεως 4.

Δείξτε ότι

(1) x2 = e.

Λύση

(2) xy = z.

Λύση

(3) Η G είναι ισομορφική με την ομάδα του Klein V.

Λύση

12.10. Πόσες ομάδες ταξεως 4 υπάρχουν ;

Λύση

12.11. Πόσοι ομομορφισμοί Ζ7 Ζ5 υπάρχουν ;

Λύση

12.12. Εστω G, H ομάδες με G = <a> κυκλική τάξεως i. Δείξτε ότι

(1) αν φ : G H είναι ομομορφισμός, τότε φ(a)i = e.

Λύση

(2) για κάθε στοιχείο b της H με bi = e, η φόρμουλα φ(an) = bn, n N, ορίζει ομομορφισμό φ : G H.

Λύση

12.13. Βρείτε όλους τους ομομορφισμούς Ζ12 Ζ3 .

Λύση

12.14. Βρείτε όλους τους ομομορφισμούς Ζ16 Ζ24.

Λύση

12.15. Βρείτε όλους τους ομομορφισμούς Ζ10 Ζ16.

Λύση

12.16. Αν η φ : G G που στέλνει το g στο g2 είναι ομομορφισμός ομάδων, δείξτε . ότι η G είναι αβελιανή.

Λύση

 

Επιστροφή στα περιεχόμενα