13. Κύκλοι, τροχιές, εναλλάσσουσες ομάδες

 

Στο κεφάλαιο αυτό το n παριστάνει φυσικό αριθμό 2.

Εστω a1, a2 am διακεκριμένα μέλη του {1, 2, , n}. Tοτε (a1, a2, , am) συμβολίζει την μετάθεση που στέλνει το a1 στο a2, το a2 στο a3 το am-1 στο am, το am στο a1 και αφήνει τα υπόλοιπα στοιχεία αμετάβλητα. Είναι προφανώς μέλος της Sn τάξεως m. Λέγεται κύκλος μήκους m.

Κύκλοι μήκους 2 λέγονται αντιμεταθέσεις, π.χ., (1, 2), (3, 4).

 

Λήμμα 13.1. Δύο ξένοι κύκλοι α, β αντιμετατίθενται, δηλαδή αβ = βα.

 

Λήμμα 13.2. (a1, a2 am) = (a2, a3 am, a1) = = (ai, ai+1, am, a1, a2 ai-1).

 

Εστω σ Sn. Ορίζεται σχέση ~ στο {1, 2, , n} με a ~ b ανν b = σm(a) για κάποιο m Z.

 

Λήμμα 13.3. Η ~ είναι σχέση ισοδυναμίας.

 

Η κλάση ισοδυναμίας στοιχείου a λέγεται η τροχιά του a ως προς την σ, και συμβολίζεται με [a].

 

Λήμμα 13.4. Υπάρχει φυσικός αριθμός m τ.ω σm(a) = a. Αν m είναι ο ελάχιστος τέτοιος αριθμός, τότε η [a] αποτελείται από τα διακεκριμένα στοιχεία a, σ(a), σ2(a), σm-1(a).

 

Η τροχιά του a ορίζει τον κύκλο (a, σ(a), σ2(a), , σm-1(a)), ο οποίος στέλνει κάθε μέλος b της τροχιάς στο σ(b) και αφήνει τα άλλα στοιχεία αμετάβλητα.

 

Θεώρημα 13.1. Η σ ειναι το γινόμενο των ξένων κύκλων που ορίζουν οι διακεκριμένες τροχιές της.

 

Λήμμα 13.5. Κάθε κύκλος είναι γινόμενο αντιμεταθέσεων.

Απόδειξη. (a1, a2, ,aκ) = (a1, aκ) (a1, a3)(a1, a2).

 

Θεώρημα 13.2. Κάθε μετάθεση είναι γινόμενο αντιμεταθέσεων.

 

Μια μετάθεση λέγεται άρτια (αντίστοιχα, περιττή) αν γράφεται ως γινόμενο αρτίου (αντ. περιττού) το πλήθος αντιμεταθέσεων.

Τ(σ) συμβολίζει το πλήθος των τροχιών της σ.

 

Λήμμα 13.6. Εστω σ μετάθεση και τ αντιμετάθεση του Sn. Τότε Τ(τσ) Τ(σ) = 1.

 

Λήμμα 13.7. Εστω σ μετάθεση και τ1, τ2 αντιμεταθέσεις του Sn. Τότε ο αριθμός Τ(τ1τ2σ) Τ(σ) είναι ζυγός.

 

Λήμμα 13.8. Εστω σ μετάθεση και τ1, τ2, , τ2m+1 αντιμεταθέσεις του Sn. Τότε ο αριθμός Τ(τ1τ2 τ2mσ) Τ(σ) είναι άρτιος και ο Τ(τ1τ2 τ2m+1σ) Τ(σ) περιττός.

 

Θεώρημα 13.3. Μια μετάθεση δεν μπορεί να είναι και περιττή και άρτια.

 

Η εναλλάσσουσα ομάδα Αn αποτελείται από όλες τις άρτιες μεταθέσεις της Sn. Είναι όντως ομάδα :

 

Θεώρημα 13.4. Η Αn είναι υποομάδα της Sn.

 

Θεώρημα 13.5. Η Αn αποτελείται από n! στοιχεία.

Απόδειξη. (Sn : An) = 2.

 

Ασκήσεις

 

13.1. Πότε είναι άρτιος ένας κύκλος μήκους m;

Λύση

 

Στις επόμενες 4 ασκήσεις, βρείτε όλες τις τροχιές της σ, γράψτε την ως γινόμενο ξένων κύκλων, γράψτε την ως γινόμενο αντιμεταθέσεων, και προσδιορίστε αν είναι άρτια ή περιττή.

 

13.2. σ είναι το μέλος της S3 που στέλνει τους 1, 2, 3 στους 3, 1, 2, αντίστοιχα.

Λύση

13.3. σ είναι το μέλος της S4 που στέλνει τους 1, 2, 3, 4 στους 4, 3, 2, 1, αντίστοιχα.

Λύση

13.4. σ είναι το μέλος της S8 που στέλνει τους 1, 2, , 8 στους 4, 3, 8, 5, 1, 7, 6, 2, αντίστοιχα.

Λύση

13.5. σ είναι το μέλος της S8 που στέλνει τους 1, 2, , 8 στους 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, αντίστοιχα.

Λύση

13.6. Στην S9, να εκφράσετε την (1, 2, 3, 6)(1, 5, 4)(3, 4, 7, 8)(8, 9, 2, 3) ως γινόμενο ξένων κύκλων.

Λύση

13.7. Γράψτε την (1, 2, 3, , 2n+1)2 ως γινόμενο ξένων κύκλων.

Λύση

13.8. Δώστε όλα τα στοιχεία της Α3.

Λύση

13.9. Δώστε όλα τα στοιχεία της Α4. Είναι αβελιανή;

Λύση

13.10. Δώστε δύο μη ισομορφικές υποομάδες της S4 τάξεως 4.

Λύση

13.11. Γιατί στο κεφάλαιο 13 υποθέτουμε n 2;

 

Επιστροφή στα περιεχόμενα