14. Ευθέα γινόμενα ομάδων

 

Το ευθύ γινόμενο ομάδων G, H είναι το σύνολο G H εφοδιασμένο με την πράξη που ορίζει η φόρμουλα:  

(x1, x2) . (y1, y2) = (x1.y1, x2.y2)

Θεώρημα 14.1. Το G H είναι ομάδα. Μάλιστα, αν G και H είναι αβελιανές ομάδες, τότε και η G H είναι αβελιανή.

 

Θεώρημα 14.2. Αν μκδ(m, n) = 1, τότε Ζm Zn ~ Zmn.

 

Ομοίως ορίζεται το πιο γενικό ευθύ γινόμενο G1 G2 Gn ομάδων G1, G2, , Gn, το οποίο είναι πάντοτε ομάδα. Μάλιστα είναι αβελιανή ομάδα αν ολοι οι παράγοντες είναι αβελιανές ομάδες.

Η <Rn, +> είναι το ευθύ γινόμενο n αντιτύπων της <R, +>.

 

Ασκήσεις

 

14.1. Δείξτε ότι Ζ2 Z2 ~ V.

Λύση

14.2. Εστω φ : G Η μονομορφισμός και a G. Δείξτε ότι .

Λύση

14.3. Δείξτε ότι η Ζ3 Z3 δεν είναι ισομορφική με την Z9.

Λύση

14.4. Δείξτε ότι οι Ζ2 Z2 Z2, Ζ2 Z4, Z8 και D4 ανήκουν σε διαφορετικές κλάσεις ισομορφίας.

Λύση

14.5. Δείξτε ότι η συνάρτηση φ : G H G, η οποία στέλνει το (x, y) στο x, είναι επιμορφισμός. Η φ λέγεται η προβολή του γινομένου στο G.

Λύση

14.6. Δείξτε ότι η συνάρτηση φ : G G H, η οποία στέλνει το x στο (x, e) είναι μονομορφισμός.

Λύση

 

Επιστροφή στα περιεχόμενα