18. Υποδακτύλιοι και γινόμενα δακτυλίων

 

Εστω < S, +, . > δακτύλιος. Ένα υποσύνολο T του S λέγεται υποδακτύλιος του S αν είναι κλειστό ως προς + και . και το < Τ, +, . > αποτελεί δακτύλιο.

 

Θεώρημα 18.1. Ένα υποσύνολο T είναι υποδακτύλιος δακτυλίου S ανν

(ι) Τ είναι κλειστό ως προς + και . και (ιι) το < Τ, + > είναι υποομάδα της < S, + >.

 

Θεώρημα 18.2. Ένα υποσύνολο T είναι υποδακτύλιος δακτυλίου S ανν

(ι) Τ είναι κλειστό ως προς + και ., (ιι) 0 Τ και (ιιι) x Τ - x Τ.

 

Παραδείγματα υποδακτυλίων του F(R):

(ι) P(R), το σύνολο όλων των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές.

(ιι) C(R), το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων f : R R.

(ιιι) D(R), το σύνολο όλων των διαφορίσιμων συναρτήσεων f : R R.

 

 

Εστω S1, S2, , Sn δακτύλιοι. Το καρτεσιανό γινόμενο S1 S2 Sn, μετατρέπεται σε δακτύλιο αν ορίσουμε + και . μέσω των

(x1, x2, , xn) + (y1, y2, ,yn) = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn)

(x1, x2, , xn) . (y1, y2, ,yn) = (x1 . y1, x2 . y2, , xn . yn).

 

Aν όλοι οι παράγοντες είναι αντιμεταθετικοί ή έχουν μοναδιαίο στοιχείο το ίδιο ισχύει και για το γινόμενο.

 

Ασκήσεις

 

18.1. Δείξτε ότι το Ζ(i) = { m + ni : m, n Z } είναι υποδακτύλιος του C.

Λύση

18.2. Δείξτε ότι το Ζ () = { k + m : k, m Ζ } είναι υποδακτύλιος του C, για κάθε ακέραιο n.

Λύση

18.3. Ποια από τα στοιχεία του Ζ2 Ζ2 έχουν αντίστροφο ως προς τον πολλαπλασιασμό;

Λύση

18.4. Δείξτε ότι το γινόμενο δύο σωμάτων S, T δεν είναι σώμα.

Λύση

 

Επιστροφή στα περιεχόμενα