Εστω S, T δακτύλιοι. Μια συνάρτηση φ : S ® T λέγεται ομομορφισμός δακτυλίων αν για όλα τα στοιχεία a, b του S,

(ι) φ(a + b) = φ(a) + φ(b) και

(ιι) φ(a . b) = φ(a) . φ(b)

Ενας ομομορφισμός φ : S ® T λέγεται μονομορφισμός, επιμορφισμός, ισομορφισμός αν η φ ως συνάρτηση είναι 1-1, επί, 1-1 και επί, αντίστοιχα.

Θεώρημα 19.1. Εστω φ : S ® T ομομορφισμός δακτυλίων. Τότε

(1) φ(0) = 0.

(2) φ(- x) = - φ(x)), " x G.

(3) φ(nx) = nφ(x), " x G και " n Z.

(4) φ(x y) = φ(x) – φ(y), " x, y G .

Θεώρημα 19.2. Εστω φ : S ® T επιμορφισμός δακτυλίων. Αν ο S είναι αντιμεταθετικός, τότε και ο T είναι αντιμεταθετικός. Αν ο S έχει μοναδιαίο στοιχείο 1, τότε ο T έχει το φ(1) ως μοναδιαίο στοιχείο.

Θεώρημα 19.3. Εστω φ : R ® S και ψ : S ® T ομομορφισμοί δακτυλίων. Τότε και η σύνθεσή τους ψφ είναι ομομορφισμός. Αν φ και ψ είναι μονομορφισμοί ή επιμορφισμοί ή ισομομορφισμοί, το ίδιο ισχύει για την ψφ.

Θεώρημα 19.4. Εστω φ : S ® T ισομορφισμός δακτυλίων. Τότε και η αντίστροφη συνάρτηση φ^-1 : T ® S είναι ισομορφισμός δακτυλίων.

Γράφουμε S ~ T αν υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων φ : S ® T.

Θεώρημα 19.5. Η ισομορφία δακτυλίων, δηλ. η ~ , είναι σχέση ισοδυναμίας.

Αν S ~ T οι δύο δακτύλιοι S, T λέγονται ισομορφικοί. Η Αλγεβρα δεν διακρίνει μεταξύ δύο ισομορφικών ομάδων γιατί έχουν τις ίδιες αλγεβρικές ιδιότητες!

Εστω φ : S ® T ομομορφισμός δακτυλίων.

O πυρήνας του φ είναι το σύνολο Kerφ = { x S : φ(x) = 0 }

H εικόνα του φ είναι το σύνολο Imφ = { φ(x) : x S}.

Θεώρημα 19.6. Ο πυρήνας ομομορφισμού δακτυλίων φ : S ® T είναι υποδακτύλιος του S. H εικόνα του φ είναι υποδακτύλιος του Τ.

Θεώρημα 19.7. Ενας ομομορφισμός δακτυλίων φ : S ® T είναι μονομορφισμός ανν Kerφ = { 0 }.

19.1. Δείξτε ότι η φ : Ζ ® Ζ_n, όπου φ(x) =, είναι επιμομορφισμός δακτυλίων.

Λύση

19.2. H φ : Ζ ® 3Ζ ορίζεται με φ(x) = 3x. Είναι ομομορφισμός ομάδων; Είναι ομομορφισμός δακτυλίων;

Λύση

19.3. Οι ομάδες Ζ, 2Ζ είναι ισομορφικές;

Λύση

19.4. Οι δακτύλιοι Ζ, 2Ζ είναι ισομορφικοί;

Λύση

19.5. Δείξτε ότι, όταν μκδ(m, n) = 1, οι δακτύλιοι Ζ_m Z_n και Z_mn είναι ισομορφικοί.

Υπόδειξη

Λύση

19.6. Είναι οι δακτύλιοι Ζ₂ Z₂ και Z₄ είναι ισομορφικοί;

Λύση

19.7. Eστω S, T δακτύλιοι. Δείξτε ότι η προβολή φ : S T ® S είναι επιμορφισμός δακτυλίων και βρείτε τον πυρήνας της. ( Σημ. φ(x, y) (ή πιο σωστά φ((x, y)) = x )).

Λύση

19.8. Eστω S, T δακτύλιοι. Δείξτε ότι η συνάρτηση φ : S ® S T που στέλνει το x στο (x, 0) είναι μονομορφισμός. Αν ο S έχει μοναδιαίο στοιχείο 1, είναι το φ(1) μοναδιαίο στοιχείο για τον S T;

Λύση