21. Πολυώνυμα και Ευκλείδειες περιοχές

 

Ενα πολυώνυμο p(x) με συντελεστές σε δακτύλιο S είναι μια τυπική εκφραση της μορφής

p(x) = a0 + a1x + a2 x2 + a3x3 +

οπου τα a0, a1, a2, a3, είναι στοιχεία του S και για κάποιο ακέραιο n 0, an = an+1 = an+2 = an+3 = 0. Τα a0, a1, a2, a3, λέγονται οι συντελεστές του p(x).

Σημείωση: Ο προσδιορισμός τυπική εκφραση στον ορισμό σημαίνει ακριβώς ότι δύο πολυώνυμα με συντελεστές a0, a1, a2, a3, και b0, b1, b2, b3, , αντίστοιχα, θεωρούνται ίσα ανν an = bn, για κάθε n 0.

 

Ένα πολυώνυμο p(x) με συντελεστές a0, a1, a2, , an, 0, 0, 0, ., γράφεται και στη μορφή

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn

O βαθμός του p(x), deg(p(x), ορίζεται ως εξής: Αν p(x) = 0, deg(p(x)) = 0. Aν p(x) 0, τότε deg(p(x)) είναι ο τελευταίος n με an 0.

 

S[x] συμβολίζει το σύνολο όλων των πολυωνύμων με συντελεστές σε δακτύλιο S. Στο S[x] οριζονται πράξεις +, . ως εξής: Εστω p(x) και q(x) μέλη του S[x] με συντελεστές a0, a1, a2, και b0, b1, b2, , αντίστοιχα. Τοτε:

(ι) το p(x) + q(x) είναι το πολυώνυμο με n-οστό συντελεστή τον an + bn.

(ιι) το p(x) . q(x) είναι το πολυώνυμο με n-οστό συντελεστή τον

 

Θεώρημα 21.1. Το < S[x], +, . > είναι δακτύλιος για κάθε δακτύλιο S.

 

Θεώρημα 21.2. Εστω D ακέραια περιοχή. Τοτε ο D[x] είναι ακέραια περιοχή και για όλα τα μέλη του p(x) και q(x) ισχύει

deg(p(x)q(x)) = deg(p(x)) + deg(q(x)).

 

Θεώρημα 21.3. (Aλγόριθμος διαίρεσης). Εστω F σώμα και f(x), g(x) μέλη του F[x] με g(x) 0. Τότε υπάρχουν μοναδικά q(x) και r(x) στο F[x] τ.ω.

f(x) = q(x)g(x) + r(x) και r(x) = 0 ή deg(r(x)) < deg(g(x)).

 

Ευκλείδεια εκτίμηση σε ακέραια περιοχή S λέγεται μια συνάρτηση d : S {0} {0, 1, 2, } που ικανοποιεί

(ι) d(a) d(ab) για a και b 0

(ιι) για οποιαδήποτε στοιχεία a, b του S με b 0, υπάρχουν στοιχεία q, r στο D τ.ω

a = qb + r και r = 0 ή d(r) < d(b).

 

Μια ΑΠ που μπορεί να εφοδιαστεί με μια ευκλείδεια εκτίμηση λέγεται Ευκλείδεια περιοχή. Σε Ευκλείδεια περιοχή, υπάρχει ένας τουλάχιστον μκδ στοιχείων a, b γιατι υπαρχουν στοιχεία q1, q2, , qn+1, r1, r2, , rn που ικανοποιούν το θεώρημα 20.5.!

 

Παραδείγματα Ευκλειδείων περιοχών: Ζ, F[x] για κάθε σώμα F.

 

Εστω p(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn πολυώνυμο με συντελεστές σε δακτύλιο S και s στοιχείο του S. Το στοιχείο a0 + as + a2s2 + + ansn του S λέγεται η τιμή του p(x) στο s και συμβολίζεται με p(s). To s λέγεται ρίζα του p(x) αν p(s) = o.

Είναι συνέπεια του ορισμού των πράξεων στον S[x] ότι, για δεδομένο στοιχείο s του S, η συνάρτηση S[x] S που στέλνει κάθε p(x) S[x] στο p(s) S είναι ομομορφισμός δακτυλίων.

 

Για το υπόλοιπο του παρόντος κεφαλαίου, F συμβολίζει ένα σώμα.

 

Θεώρημα 21.4. Eστω a μέλος του F και f(x) μέλος του F[x].

Τότε το x a διαιρεί το f(x) ανν το a είναι ρίζα του f(x).

 

Θεώρημα 21.5. Ενα μέλος f(x) του F[x] βαθμού n 1 έχει το πολύ n ρίζες στο F.

 

Ενα πρώτο στοιχείο f(x) του F[x] λέγεται ανάγωγο πολυώνυμο πάνω από το F. Ενα μέλος f(x) του F[x] βαθμού n 1 που δεν είναι πρώτο λέγεται αναγώγιμο πάνω από το F.

 

Θεώρημα 21.6. Στο F[x], ένα πολυώνυμο f(x) βαθμού n 1 είναι αναγώγιμο ανν είναι το γινόμενο δύο πολυωνύμων μικρότερου βαθμού.

 

Θεώρημα 21.7. Ένα μέλος f(x) του F[x] πρώτου βαθμού είναι ανάγωγο.

 

Θεώρημα 21.8. Κάθε μέλος f(x) του F[x] βαθμού 2 που έχει μια ρίζα στο F είναι αναγώγιμο.

 

Θεώρημα 21.9. Ένα μέλος f(x) του F[x] βαθμού 2 ή 3 είναι αναγώγιμο ανν έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο F.

 

Aσκήσεις

 

21.1. Ποιες είναι οι μονάδες του F[x], όπου F είναι σώμα;

Λύση

21.2. Ποτε δύο στοιχεία f(x), g(x) του F[x] είναι ισοδύναμα;

Λύση

21.3. Βρείτε όλους τους μκδ των 2x3 + 2x2 + 1 και 3x2 + 2 στην ακέραια περιοχή Ζ5[x].

Λύση

21.4. Βρείτε ολους τους μκδ των x4 + x2 + x + 1 και x2 + 1 στην Ζ2[x].

Λύση

21.5. Βρείτε ένα μκδ των x4 + x2 + x + 1 και x2 + 1 στην Ζ5[x].

Λύση

21.6. Βρείτε ένα μκδ των f(x) = x5 + 2 και g(x) = 3x3 + 1 στην Ζ11[x].

Λύση

21.7. Βρείτε ένα μκδ των f(x) = x7 + 2x6 + 3x5 + x4 + 2x + 5 και g(x) = 3x4 + 4 στην Ζ7[x].

Λύση

21.8. Το f(x) = x4 + 4x2 + 3 είναι αναγώγιμο πάνω από το R; Εχει ρίζες στο R;

Λύση

21.9. To f(x) = x3 + 3x + 2 είναι ανάγωγο πάνω από το Ζ2; Αναλύστε το f(x) σε γραμμικούς παράγοντες πάνω από το Ζ2.

Λύση

21.10. Αναλύστε το f(x) = x3 + 3x + 2 σε γραμμικούς παράγοντες πάνω από το Ζ3.

Λύση

21.11. Εξετάστε αν τo f(x) = x4 + 4 αναλύεται σε γραμμικούς παράγοντες πάνω 

από το Ζ5.

Λύση

21.12. Εξετάστε αν τo f(x) = x3 + 3x + 2 είναι ανάγωγο πάνω από το Ζ5.

Λύση

21.13. Εξετάστε αν τo f(x) = x3 + x + 1 είναι ανάγωγο πάνω από το Ζ7.

Λύση

21.14. Εξετάστε αν τo f(x) = x3 + x + 1 είναι ανάγωγο πάνω από το Ζ11.

Λύση

21.15. Για ποιους πρώτους p, είναι το x + 4 παράγοντας του f(x) = x3 + x + 2 στο Ζp

Λύση

21.16. Εστω p πρώτος και a ακέραιος. Δείξτε ότι το f(x) = xp + a είναι αναγώγιμο  

πάνω από το Ζp.

Λύση

21.17. Δείξτε ότι το f(x) = x4 + x3 + x + 1 είναι αναγώγιμο πάνω από οποιoδήποτε  

σώμα F.

Λύση

21.18. Βρείτε όλες τις ρίζες του x2 1 στον Ζ8.

Λύση

 

Επιστροφή στα περιεχόμενα