22. Περιοχές κυρίων ιδεωδών

 

Ενα υποσύνολο Η δακτυλίου S λέγεται ιδεώδες του S αν (ι) < Η, + > είναι υποομάδα της < S, + > και (ιι) για όλα τα μέλη h του H και όλα τα μέλη s του S, τα στοιχεία hs και sh ανήκουν στο Η.

 

Θεώρημα 22.1. Κάθε ιδεώδες Η δακτυλίου S είναι υποδακτύλιος.

 

Θεώρημα 22.2. Εστω Η μη κενό υποσύνολο αντιμεταθετικού δακτυλίου S με 1. Τότε το H είναι ιδεώδες του S ανν λa + μb H όποτε a, b H και λ, μ S.

 

Θεώρημα 22.3. Για κάθε μέλος a αντιμεταθετικού δακτυλίου S με 1, το σύνολο <a> = { sa : s S } είναι ιδεώδες του S.

 

To <α>, το οποίο αποτελείται από όλα τα πολλαπλάσια του a, λέγεται το κύριο ιδεώδες με γεννήτορα το a ή το κύριο ιδεώδες που παράγεται από το a.

 

Λήμμα 22.1. Σε ακέραια περιοχή D, τ.α.ε.ι. (ι) <a> <b>, (ιι) a <b>, (ιιι) b a.

 

Λήμμα 22.2. Σε ακέραια περιοχή D, τ.α.ε.ι. (ι) <a> = <b>, (ιι) a, b είναι ισοδύναμα.

 

Μια ακέραια περιοχή D λέγεται περιοχή κυρίων ιδεωδών (ΠΚΙ) αν κάθε ιδεώδες της D είναι κύριο ιδεώδες.

 

Θεώρημα 22.4. Κάθε Ευκλείδεια περιοχή D είναι ΠΚΙ.

 

Σημείωση: Υπάρχουν ΠΚΙ που δεν είναι Ευκλείδειες περιοχές, δεν υπάρχει όμως τετριμμένο παράδειγμα.

 

Για το υπόλοιπο του παρόντος κεφαλαίου, D συμβολίζει μια ΠΚΙ.

 

Θεώρημα 22.5. Έστω a, b μέλη της D. Τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον μκδ(a, b) και κάθε μκδ(a, b) γράφεται στη μορφή λa + μb για κάποια μέλη λ, μ της D.

 

Αν το 1 είναι ένας μκδ(a, b), τα a, b λέγονται σχετικά πρώτα.

 

Λήμμα.22.3. a, b είναι σχετικά πρώτα στοιχεία της D ανν λa + μb = 1 για κάποιa μέλη λ, μ της D.

 

Λήμμα 22.4. Ενας πρώτο στοιχείο p του D διαιρεί ένα στοιχείο a ή μκδ(a, p) = 1.

 

Λήμμα 22.5. μκδ(a, b) = 1, a bc a c.

 

Λήμμα 22.6. p πρώτο, p ab p a ή p b.

 

Λήμμα 22.7. Αν ένα πρώτο στοιχείο διαιρεί το γινόμενο μελών του D, τότε διαιρεί ένα από αυτά τα μέλη.

 

Λήμμα 22.8. Αν ένα πρώτο διαιρεί το γινόμενο πρώτων, τότε είναι ισοδύναμο με ένα από αυτά.

 

Θεώρημα 22.6. Εστω Η1, Η2, Η3, ιδεώδη της D με Τότε για κάποιο φυσικό αριθμό n, Ηn = Ηn+1 = Ηn+2 =

 

Θεώρημα 22.7. Κάθε στοιχείο a του D που δεν είναι 0 ή μονάδα διαιρείται από ένα τουλάχιστον πρώτο στοιχείο.

 

Θεώρημα 22.8. (Θεώρημα μοναδικής παραγοντοποίησης). Εστω a στοιχείο του D που δεν είναι 0 ή μονάδα. Toτε:

(ι) το a ισούται με το γινόμενo κάποιων πρώτων p1, p2, ., pn.

(ιι) αν το a επίσης ισούται με το γινόμενo κάποιων άλλων πρώτων q1, q2, ., qm, τότε n = m και κάθε pi είναι ισοδύναμο με κάποιο qj.

Ετσι, με την προϋπόθεση ότι δύο ισοδύναμα στοιχεία ταυτίζονται, το a έχει μοναδική ανάλυση (ή παραγοντοποίηση) σε πρώτα στοιχεία!

 

Πόρισμα 21.1. Κάθε μη σταθερό πολυώνυμο με συντελεστες σε σώμα F έχει μοναδική ανάλυση σε γινόμενο ανάγωγων πολυωνύμων.

 

Aσκήσεις

 

22.1. Το nΖ είναι ιδεώδες του Ζ;

Λύση

22.2. Το Ζ είναι είναι υποδακτύλιος του Q; Είναι ιδεώδες του Q;

Λύση

22.3. Εστω S δακτύλιος με 1 και Η ιδεώδες του S που περιέχει το 1. Δείξτε ότι Η = S.

Λύση

22.4. Πόσα ιδεώδη έχει ένα σώμα F;

Λύση

22.5. Στις ασκήσεις 21.6 και 21.7, γράψτε τους μκδ των f(x), g(x)) στην μορφή  

λ(x)f(x) + μ(x)g(x).

Λύση

22.6. Βρείτε το (πολλαπλασιαστικό) αντίστροφο του 26 στο Ζ59.

Υπόδειξη

Λύση

22.7. Βρείτε το αντίστροφο του 26 στο Ζ139.

Λύση

22.8. Αναλύστε το f(x) = x4 + 4x2 + 3 σε γινόμενο ανάγωγων πολυωνύμων στην R[x].

Λύση

22.9. Αναλύστε το f(x) = x4 + 4x2 + 3 σε γινόμενο ανάγωγων πολυωνύμων στην C[x].

Λύση

22.10. Ισχύει το θεώρημα μοναδικής παραγοντοποίησης για τον Ζ8[x]; Εξετάστε 

το x2 1.

Λύση

22.11. Αναλύστε το f(x) = x4 + x3 + x + 2 σε γινόμενο ανάγωγων πολυωνύμων στο Ζ3[x].

Λύση

Εστω a, b στοιχεία δακτυλίου. Ενα κοινό πολλαπλάσιο των a, b (κπ(a, b)) το οποίο διαιρεί κάθε κπ(a, b) λέγεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των a, b (εκπ(a, b)). Δύο εκπ(a, b) είναι προφανώς ισοδύναμα.. Από την επόμενη άσκηση και το θεώρημα 22.5. προκύπτει ότι δύο στοιχεία μιας ΠΚΙ έχουν πάντοτε εκπ.

22.12. Σε μια ΠΚΙ D, έστω d μκδ μη μηδενικών στοιχείων a, b και ab = cd. Δείξτε ότι:

(ι) το c είναι εκπ(a, b) και

(ιι) kd είναι μκδ(ka, kb) και kc εκπ(ka, kb), για κάθε στοιχείο k του D.

Λύση

22.13. Βρείτε τα εκπ των f(x) = x4 + 4x2 + 3 και g(x) = x3 + x2 + x + 1 στην R[x].

Λύση

22.14. Βρείτε τα εκπ των f(x) = x4 + 4x2 + 3 και g(x) = x3 + x2 + x + 1 στην Ζ2[x].

Λύση

22.15. Εστω S αντιμεταθετικός δακτύλιος με 1 και Ι, J ιδεώδη του S. Δείξτε ότι τα I + J και I J είναι ιδεώδη του S, όπου Ι + J = { a + b : a I, b J }.

Λύση

22.16. Bρείτε γεννήτορες για τα ιδεώδη I + J και I J του Ζ, όπου I = <600> και  

J = <252>.

Λύση

22.17. Δείξτε ότι το υποσύνολο H = { 2 f(x) + x g(x) : f(x), g(x) Ζ[x] } είναι ιδεώδες του Ζ[x], αλλά όχι κύριο ιδεώδες. Ετσι το Ζ[x] είναι ακέραια περιοχή, αλλά όχι ΠΚΙ.

Λύση

22.18. Βρείτε όλες τις μονάδες των Ζ(i) και Z(). (Βλέπε ασκήσεις 18.1 και 18.2)

Υπόδειξη

Λύση

22.19. Δείξτε ότι 2, 3, 1 + και 1 - είναι πρώτοι στο Z(). Να συμπεράνετε ότι η ακέραια περιοχή Z() δεν είναι ΠΚΙ.

Υπόδειξη

Λύση

 

Επιστροφή στα περιεχόμενα