23. Ιδεώδη και δακτύλιοι-πηλίκα.

 

Θεώρημα 23.1. Ο πυρήνας ομομορφισμού δακτυλίων φ : S T είναι ιδεώδες του S.

 

Θεώρημα 23.2. Εστω H ιδεώδες δακτυλίου S.

(1) Στο συνολο S / H = {a+H : a S}, το οποίο αποτελείται από όλα τα αριστερά σύμπλόκα της υποομάδας Η της < S, + >, ορίζoνται πραξεις + και . μέσω των

(a+H) + (b+H) = (a + b)+H

(a+H) . (b+H) = (a . b)+H.

(2) To < S / H, +, . > είναι δακτύλιος με ουδέτερο στοιχείο το 0+H = Η.

(Λέγεται ο δακτύλιος-πηλίκο S modulo H).

(3) H φυσική απεικόνιση π : S S / H που στέλνει το a στο a+H είναι επιμορφισμός με Kerπ = Η.

(4) Αν ο S είναι αντιμεταθετικός, το ίδιο ισχύει για τον S / H.

(5) Αν ο S έχει ταυτοτικό στοιχείο 1, τοτε ο S / H έχει το 1+Η ως ταυτοτικό στοιχείο.

(6) Αν ο S είναι πεπερασμένος, τότε .

 

Θεώρημα 23.3. (Θεμελιώδες θεώρημα ομομορφισμού). Εστω φ : S T ομομορφισμός και Η = Kerφ. Τότε:

(1) η ευθεία εικόνα Imφ = { φ(a) : a S } είναι υποδακτύλιος του T.

(2) η φόρμουλα ψ(a+H) = φ(a) ορίζει ισομορφισμό ψ : S / H Imφ.

 

Πόρισμα 23.1. Αν φ : S T είναι επιμορφισμός, τότε T ~ S / Kerφ.

 

Ασκήσεις

 

23.1. Εστω F σώμα και φ : F S ομομορφισμός δακτυλίων με φ(1) 0. Δείξτε ότι ο φ είναι μονομορφισμός.

Υπόδειξη

Λύση

23.2. Αναγνωρίστε τον δακτύλιο S / H, όπου Η = <0>.

Λύση

23.3. Δείξτε ότι οι 3Ζ / 9Ζ και Ζ3 δεν είναι ισομορφικοί δακτύλιοι.

Λύση

23.4. Αναγνωρίστε τον δακτύλιο Ζ / <n>.

Λύση

23.5. Αναγνωρίστε τον δακτύλιο Ζ24 / H, όπου Η = { 0, 6, 12, 18 } = <6>.

Υπόδειξη

Λύση

23.6. Εστω S, T αντιμεταθετικοί δακτύλιοι με 1, φ : S T ομομορφισμός, και H ιδεώδες του S. Δείξτε ότι το E = { x S : φ(x) H } είναι ιδεώδες του Τ.

Λύση

23.7. Εστω S αντιμεταθετικός δακτύλιος με 1 και φ : S T επιμορφισμός δακτυλίων. Εστω επίσης ότι κάθε ιδεώδες του S είναι κύριο. Δείξτε ότι κάθε ιδεώδες του Τ είναι κύριο.

Λύση

23.8. Δείξτε ότι όλα τα ιδεώδη του Ζn είναι κύρια.

Λύση

23.9. Βρείτε όλα τα ιδεώδη του Ζ12. Αναγνωρίστε τα αντίστοιχα πηλίκα.

Λύση

23.10. Βρείτε τον πυρήνα του ομομορφισμού φ : R[x] C που ορίζεται με φ(f(x)) = f(i).

Λύση

 

Επιστροφή στα περιεχόμενα