next up previous
Next: Άσκηση Up: Άσκηση Previous: Υπόδειξη

Λύση

Ακολουθώντας την υπόδειξη βρίσκουμε $\lambda$($ \vec{a}\,$ . $ \vec{b}\,$) + $\mu$($ \vec{a}\,$ . $ \vec{c}\,$) = 0. Σαν συνέπεια βρίσκουμε $\lambda$ = $\kappa$($ \vec{a}\,$ . $ \vec{c}\,$) και $\mu$ = $\kappa$($ \vec{a}\,$ . $ \vec{b}\,$) για $\kappa$ $ \in$ $ \mathbb {R}$. Θα δείξουμε ότι το $\kappa$ δεν εξαρτάται από τα διανύσματα $ \vec{a}\,$$ \vec{b}\,$ και $ \vec{c}\,$.

Ας γράψουμε προς στιγμή $ \vec{a}\,$ x ($ \vec{b}\,$ x $ \vec{c}\,$) = $\kappa$($ \vec{a}\,$)[($ \vec{a}\,$ . $ \vec{c}\,$)$ \vec{b}\,$ - ($ \vec{a}\,$ . $ \vec{b}\,$)$ \vec{c}\,$] για να τονίσουμε την εξάρτηση του $\kappa$ από το $ \vec{a}\,$. Από τη γραμμικότητα ($ \vec{a}\,$ + $ \vec{a}{^\prime}$) x ($ \vec{b}\,$ x $ \vec{c}\,$) = $ \vec{a}\,$ x ($ \vec{b}\,$ x $ \vec{c}\,$) + $ \vec{a}{^\prime}$ x ($ \vec{b}\,$ x $ \vec{c}\,$) βρίσκουμε $\kappa$($ \vec{a}\,$ + $ \vec{a}{^\prime}$) = $\kappa$($ \vec{a}\,$) = $\kappa$($ \vec{a}{^\prime}$). Αν βάλουμε $ \vec{a}{^\prime}$ = $ \vec{0}\,$ βρίσκουμε $\kappa$($ \vec{a}\,$) = $\kappa$(0), συνεπώς το $\kappa$ είναι ανεξάρτητο του $ \vec{a}\,$. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι είναι ανεξάρτητο των $ \vec{b}\,$,$ \vec{c}\,$. Για να βρούμε την τιμή του χρησιμοποιούμε μιά ορθοκανονική βάση ($ \vec{x}_{0}^{}$,$ \vec{y}_{0}^{}$,$ \vec{z}_{0}^{}$) και το γεγονός ότι π.χ.

- $\displaystyle \vec{y}_{0}^{}$ = $\displaystyle \vec{x}_{0}^{}$ x ($\displaystyle \vec{x}_{0}^{}$ x $\displaystyle \vec{y}_{0}^{}$) = $\displaystyle \kappa$[($\displaystyle \vec{x}_{0}^{}$ . $\displaystyle \vec{y}_{0}^{}$)$\displaystyle \vec{x}_{0}^{}$ - ($\displaystyle \vec{x}_{0}^{}$ . $\displaystyle \vec{x}_{0}^{}$)$\displaystyle \vec{y}_{0}^{}$] = - $\displaystyle \kappa$$\displaystyle \vec{y}_{0}^{}$  ,      

συνεπώς $\kappa$ = 1.



Aristophanes Dimakis
1999-10-05