Λύση

Τα τρίγωνα OAA₁, OA₁A₂,..., OA_{n - 1}A_n είναι όμοια γιατί είναι ορθογώνια και έχουν τη γωνία $\angle$(AOB) κοινή. Συνεπώς έχουμε τις σχέσεις αναλογίας

$${OA_1\over OA} {OA_2\over OA_1} {A_1A_2\over AA_1} {OA_2\over OA_1} {OA_3\over OA_2} {A_2A_3\over A_1A_2}$$

$${OA_{n-1}\over OA_{n-2}} {OA_n\over OA_{n-1}} {A_{n-1}A_n\over A_{n-2}A_{n-1}}$$

και συγκρίνοντας παίρνουμε

$${OA_1\over OA} {OA_2\over OA_1} {OA_n\over OA_{n-1}} {A_1A_2\over AA_1} {A_2A_3\over A_1A_2} {A_{n-1}A_n\over A_{n-2}A_{n-1}} \kappa$$

Από τις παραπάνω σχέσεις είναι προφανές ότι

$$\kappa^{n-1}_{}$$

συνεπώς μένει να υπολογίσουμε το $\kappa$ = ${OA_1\over OA}$ και ΑΑ₁. Από τις συντεταγμένες των σημείων A, B έχουμε OA = OB = $\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$. Επίσης από το εμβαδόν του τριγώνου OAB έχουμε

$${1\over 2} {1\over 2} \left\vert\vphantom{ \begin{array}{ccc}\alpha&\beta&1\\ \beta&\alpha&1\\ 0&0&1 \end{array}}\right. \begin{array}{ccc}\alpha&\beta&1\\ \beta&\alpha&1\\ 0&0&1 \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{ccc}\alpha&\beta&1\\ \beta&\alpha&1\\ 0&0&1 \end{array}}\right\vert$$

Αντικαθιστώντας παίρνουμε

$${\frac{\beta^2-\alpha^2}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}} \sqrt{OA^2-AA_1^2} {\frac{2\alpha\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}}$$

οπότε

$$\kappa {\frac{2\alpha\beta}{\alpha^2+\beta^2}}$$

Bρίσκουμε

$$\kappa \kappa^{n-1}_{}$$ AA₁ + A₁A₂ + ^... + A_{n - 1}A_n =

$${\frac{\beta^2-\alpha^2}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}} {\frac{1-\kappa^n}{1-\kappa}}$$ =

Επειδή 0 < $\kappa$ < 1, έχουμε τελικά

$$\lim_{n\to\infty}^{} {\frac{\beta^2-\alpha^2}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}} {\frac{1}{1-\kappa}}$$ =

$${\frac{\beta+\alpha}{\beta-\alpha}} \sqrt{\alpha^2+\beta^2}$$ =