next up previous
Next: Άσκηση Up: No Title Previous: Λύση

Η ευθεία στο επίπεδο

Μια ευθεία που παιρνά από το σημείο P1($ \vec{r}_{1}^{}$) και είναι παράλληλη προς διάνυσμα $ \vec{a}\,$ έχει εξίσωση

$\displaystyle \vec{r}\,$ = $\displaystyle \vec{r}_{1}^{}$ + t$\displaystyle \vec{a}\,$,     (15)

ενώ αν παιρνά και από το σημείο P2($ \vec{r}_{2}^{}$) έχει εξίσωση
$\displaystyle \vec{r}\,$ = $\displaystyle \vec{r}_{1}^{}$ + t($\displaystyle \vec{r}_{2}^{}$ - $\displaystyle \vec{r}_{1}^{}$),     (16)

όπου t $ \in$ $ \mathbb {R}$. Σε συντεταγμένες οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται
x = x1 + t$\displaystyle \alpha$
y = y1 + t$\displaystyle \beta$
        ή        $\displaystyle \begin{array}{lcl}x&=&x_1+t(x_2-x_1)\\ y&=&y_1+t(y_2-y_1)\end{array}$,
    (17)

με t $ \in$ $ \mathbb {R}$. Σε αναλυτική μορφή οι εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο είναι
$\displaystyle {\frac{x-x_1}{\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{y-y_1}{\beta}}$        ή        $\displaystyle {\frac{x-x_1}{x_2-x_1}}$ = $\displaystyle {\frac{y-y_1}{y_2-y_1}}$.     (18)

Οι εξισώσεις αυτές έχουν τη γενική μορφή
Ax + By + C = 0,                (A, B) $\displaystyle \neq$ (0, 0).     (19)

Η κλίση $\lambda$ μιας ευθείας είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα Ox. Συνεπώς η ευθεία που έχει κλίση $\lambda$ και περνάει από το σημείο (x0, y0) είναι
y - y0 = $\displaystyle \lambda$(x - x0).     (20)

Δυο ευθείες είναι κάθετες αν το γινόμενο των κλίσεων τους είναι -1, δηλ. $ \lambda_{1}^{}$$ \lambda_{2}^{}$ = - 1.

Το διάνυσμα (B, - A) είναι παράλληλο προς την ευθεία, ενώ το διάνυσμα (A, B) είναι κάθετο προς αυτήν.

Οι δύο εξισώσεις

A1x + B1y + C1 = 0,                A2x + B2y + C2 = 0     (21)

παριστάνουν παράλληλες ευθείες, αν
$\displaystyle {\frac{A_1}{A_2}}$ = $\displaystyle {\frac{B_1}{B_2}}$,     (22)

ενώ παριστάνουν την ίδια ευθεία αν
$\displaystyle {\frac{A_1}{A_2}}$ = $\displaystyle {\frac{B_1}{B_2}}$ = $\displaystyle {\frac{C_1}{C_2}}$.     (23)

Η σχετική θέση τριών ευθειών Aix + Biy + Ci = 0, i = 1, 2, 3 εξαρτάται από τις τάξεις των δύο πινάκων

D = $\displaystyle \left(\vphantom{\begin{array}{cc} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \\ A_3 & B_3 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{cc} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \\ A_3 & B_3 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{cc} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \\ A_3 & B_3 \end{array}}\right)$,            E = $\displaystyle \left(\vphantom{\begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2 \\
A_3 & B_3 & C_3 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2 \\
A_3 & B_3 & C_3 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2 \\
A_3 & B_3 & C_3 \end{array}}\right)$.      

Έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
α) r(D) = 1,  r(E) = 1. Οι τρείς ευθείες συμπίπτουν.
β) r(D) = 1,  r(E) = 2. Οι τρείς ευθείες είναι παράλληλες.
γ) r(D) = 2,  r(E) = 2. Οι τρείς ευθείς περνούν από το ίδιο σημείο.
δ) r(D) = 2,  r(E) = 3. Οι τρείς ευθείες σχηματίζουν τρίπλευρο.

Επίπεδη δέσμη ευθειών είναι το σύνολο των ευθειών του επιπέδου που διέρχονται από ένα σημείο ή είναι παράλληλες μεταξύ τους. Αν Aix + Biy + Ci = 0, i = 1, 2 είναι δυο ευθείες της δέσμης τότε κάθε αλλή ευθεία που ανήκει στη δέσμη που ορίζουν αυτές έχει εξίσωση

$\displaystyle \lambda_{1}^{}$(A1x + B1y + C1) + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$(A2x + B2y + C2) = 0.     (24)

Μια ευθεία Ax + By + C = 0 χωρίζει το επίπεδο σ'ένα θετικό και ένα αρνητικό ημιεπίπεδο. Ως θετικό ημιεπίπεδο ορίζεται εκείνο στο οποίο η παράσταση Ax + By + C παίρνει θετική τιμή. Το κάθετο διάνυσμα (A, B) δείχνει προς το θετικό ημιεπίπεδο.

Ο τύπος

d = $\displaystyle {\frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}}$     (25)

δίνει την προσημασμένη απόσταση του σημείου P0(x0, y0) από την ευθεία Ax + By + C = 0. Η τιμή της d είναι αρνητική αν το σημείο βρίσκεται στο αρνητικο ημιεπίπεδο.




next up previous
Next: Άσκηση Up: No Title Previous: Λύση
Aristophanes Dimakis
1999-10-05