Λύση

Για $x \not = k\pi, \; k \in \mathbb Z,$ είναι $\vert\cos x\vert < 1$, οπότε από τα όρια ακολουθιών έχουμε ότι

$$f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} (\cos x)^{2n} = 0, \;\; x \not = k\pi, \; k \in \mathbb Z.$$

Για $x = k\pi, \; k \in \mathbb Z,$ έχουμε $\vert\cos x\vert = 1$ και άρα

$$f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} (\cos x)^{2n} = 1, \;\; x \not = k\pi, \; k \in \mathbb Z.$$

Οπότε έχουμε

$$f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 0 & \: \hbox{αν} \; \; x \n... ...ox{αν} \; \; x = k\pi, \; k \in \mathbb Z. \end{array} \right.$$

Επειδή $\lim\limits_{x \to k\pi} f(x) = 0 \not = f(k\pi) = 1$ έχουμε ότι στα σημεία $k\pi, \; k \in \mathbb Z,$ η συνάρτηση δεν είναι συνεχής και μάλιστα έχει άρσιμη ασυνέχεια. Στα υπόλοιπα σημεία είναι φανερό ότι είναι συνεχής.

'Ασκηση 5 Υπόδειξη