Λύση

'Εστω $x \in \mathbb R$. Επειδή το σύνολο των ρητών είναι πυκνό στο $\mathbb R$ έχουμε ότι υπάρχει ακολουθία $q_n$ ρητών με $\lim\limits_{n \to \infty}q_n = x$. Αν στο $x$ είναι συνεχής πρέπει $\lim\limits_{n \to \infty}f(q_n) = f(x)$ και άρα $f(x) = 0$. Επίσης, από την πυκνότητα των αρρήτων στο $\mathbb R$ έχουμε ότι υπάρχει ακολουθία $p_n$ αρρήτων με $\lim\limits_{n \to \infty}p_n = x.$ Αν στο $x$ είναι συνεχής πρέπει $\lim\limits_{n \to \infty} f(p_n) = f(x)$ και άρα $f(x) = 1.$ Από τα παραπάνω και σύμφωνα με γνωστό θεώρημα έχουμε ότι η συνάρτηση δεν μπορεί να είναι συνεχής σε κανένα σημείο. 'Αρα είναι παντού ασυνεχής. Mάλιστα έχει ουσιώδη ασυνέχεια (γιατί;).

'Ασκηση 6 Υπόδειξη