'Ασκηση 7

'Εστω συνεχής συνάρτηση $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ τέτοια ώστε

$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty, \;\;\hbox{και} \;\;\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty.$$

Αποδείξτε ότι:

(i) Η $f$ είναι άνω φραγμένη.

(ii) Υπάρχει $x_1 \in {\mathbb R}$ τέτοιο ώστε $f(x)\leq f(x_1), \;x \in {\mathbb R}.$

Υπάρχει $x_2 \in {\mathbb R}$ τέτοιο ώστε $f(x_2)\leq f(x),\; x \in {\mathbb R}$; Υπόδειξη Λύση