Τοπικά ακρότατα

Ορισμός 62   'Εστω συνάρτηση $f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$. Αν υπάρχει $x_0 \in (a,b)$ τέτοιο ώστε:

(i) $f(x) \leq f(x_0)$ για κάθε $x \in (a,b),$ τότε λέμε ότι η συνάρτηση $f$ έχει μέγιστο στο σημείο $x_0.$ Γράφουμε

$$f(x_0) = \max\{f(x), \;x\in (a,b)\}.$$

(ii) $f(x) \geq f(x_0)$ για κάθε $x \in (a,b),$ τότε λέμε ότι η συνάρτηση $f$ έχει ελάχιστο στο σημείο $x_0.$ Γράφουμε

$$f(x_0) = \min\{f(x), \;x\in (a,b)\}.$$

Δεν είναι απαραίτητο μια συνάρτηση να έχει μέγιστο ή ελάχιστο.

Ορισμός 63   'Εστω συνάρτηση $f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$. Αν υπάρχει $x_0 \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f(x) \leq f(x_0)$ ή $f(x) \geq f(x_0)$ για τα $x$ που είναι σε κάποια περιοχή του $x_0$ (δηλαδή σύνολο της μορφής $(x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon),\; \varepsilon > 0 ),$ τότε λέμε ότι η συνάρτηση $f$ έχει τοπικό μέγιστο ή τοπικό ελάχιστο αντίστοιχα, στο σημείο $x_0.$

Θεώρημα 64   (Fermat) 'Εστω συνάρτηση $f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$. Αν έχει τοπικό ακρότατο στο σημείο $x_0$ και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε $f'(x_0)= 0$.

Γεωμετρική ερμηνεία. Αν το $x_0$ είναι σημείο τοπικού ακροτάτου μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης, τότε η εφαπτομένη του γραφήματός της στο $x_0$ είναι οριζόντια.

Θεώρημα 65   'Εστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$ με $f'(x_0)= 0$ για την οποία υπάρχει η δεύτερη παράγωγος στο $x_0.$ Αν $f''(x_0) > 0\; (f''(x_0) < 0)$ το $x_0$ είναι θέση τοπικού ελαχίστου (μεγίστου).