Ασύμπτωτες του γραφήματος μιας συνάρτησης.

Ορισμός 69   'Εστω συνάρτηση $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$.

(i) Αν μία από τις οριακές τιμές $f(x_0^+), \; f(x_0^-), \; x_0 \in \mathbb R$ υπάρχει και είναι $+ \infty$ ή $-\infty$, τότε λέμε ότι η ευθεία $x = x_0$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη του γραφήματος της $f$.

(ii) Αν $\lim\limits_{x\to \pm \infty}(f(x) - ax - b) = 0,$ τότε λέμε ότι η ευθεία $y = ax+b$ είναι ασύμπτωτη της συνάρτησης στο $\pm \infty$ αντίστοιχα. Ειδικότερα αν $a = 0$ η ευθεία $y = b$ ονομάζεται οριζόντια ασύμπτωτη του αντίστοιχου κλάδου.

Πρόταση 70   'Εστω συνάρτηση $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$. Η ευθεία $y = ax+b$ είναι ασύμπτωτη της συνάρτησης προς το $+ \infty$ αν και μόνον αν

$$\lim\limits_{x\to + \infty} \frac{f(x)}{x} = a \in \mathbb R\... ...;\; \lim\limits_{x\to + \infty} (f(x) - ax) = b \in \mathbb R.$$

Ανάλογο συμπέρασμα έχουμε και για $x \to - \infty$.