Λύση

Βρίσκουμε μερικές παραγώγους με σκοπό να $''$μαντέψουμε$''$ τον γενικό τύπο. 'Εχουμε

$$f'(x) = \frac{1}{x},\;\; f''(x) = \frac{-1}{x^2},\;\; f'''(x) = \frac{2\cdot }{x^3},$$

$$f^{(4)}(x) = \frac{-2\cdot 3}{x^4},\;\; f^{(5)}(x) = \frac{2\... ...x^5}, \;\; f^{(6)}(x) = - \frac{2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{x^6}.$$

Με επαγωγή θα δείξουμε ότι

$$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{x^n}, \;\; n\in \mathbb N.$$

Για $n = 1$ ισχύει. 'Εστω ότι ισχύει για $n = k$, δηλαδή

$$\displaystyle f^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{k+1}(k-1)!}{x^k}.$$

Θα δείξουμε ότι ισχύει για $n= k+1$. Είναι

$$\begin{eqnarray*} f^{(k+1)}(x) &=& (f^{(k)})' (x) = \Biggl(\frac{(-1)^{k+1}(k-1)... ...)! (-1) k x^{k-1}}{x^{2k}}\\ & = & \frac{(-1)^{k+2}k! }{x^{k+1}} \end{eqnarray*}$$

και άρα έχουμε την απαιτούμενη σχέση.

'Ασκηση 3 Υπόδειξη