Λύση

'Εστω $x \in \mathbb R$. Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb R- \{0\}$ με $f'(x) = 3x^2 \sin \frac{1}{x} - x \cos \frac{1}{x}$. Εξετάζουμε την παραγωγισιμότητα στο $0$ με τη βοήθεια του ορισμού. 'Εχουμε

$$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim\limits_{... ...frac{1}{x}}{x} = \lim\limits_{x \to 0} x^2\sin \frac{1}{x} = 0,$$

αφού $\vert x^2 \sin \frac{1}{x}\vert \leq \vert x^2\vert\; \to 0,\; x \to 0.$ ’ρα η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο $0.$ Τελικά έχουμε

$$f'(x) = \left \{\begin{array}{ll} 3x^2 \sin \frac{1}{x} - x \... ...x \not = 0, \\ 0 & \: \hbox{αν} \; \; x=0. \end{array} \right.$$

Από τη σχέση αυτή έχουμε ότι η $f'$ είναι συνεχής για $x \in \mathbb R -\{0\}$. Στο σημείο $x = 0,$ η $f'$ είναι επίσης συνεχής αφού $\lim\limits_{x \to 0} f'(x) = 0 = f'(0),$ όπως εύκολα μπορεί κανείς να διαπιστώσει.

'Ασκηση 4 Υπόδειξη