Λύση

Παρατηρούμε ότι

$$\begin{eqnarray*} \frac{f(x+h) - f(x -h)}{2h} &=& \frac{f(x+h) - f(x) + f(x) -f(... ...Biggr( \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{f(x-h) -f(x)}{-h}\Biggl). \end{eqnarray*}$$

Επειδή η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, παίρνοντας όρια έχουμε

$$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x -h)}{2h} = \frac{1}{2}(f'(x) + f'(x)) = f'(x).$$

Το αντίστροφο δεν ισχύει. Η συνάρτηση $f(x) = \vert x\vert$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο $0$ ενώ

$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x -h)}{2h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{ \vert h\vert - \vert h\vert}{2h} = 0.$$

'Ασκηση 7 Υπόδειξη