next up previous
Next: 'Ασκηση 13 Up: 'Ασκηση 12 Previous: Υπόδειξη


Λύση

Αν $x = a $ ή $x = b,$ τότε προφανώς ισχύει η ισότητα. 'Εστω $x\in (α, b)$. Επειδή η $f $ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $[α, b],$ μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα $[a,x]$ και $[x,b]$. 'Εχουμε

\begin{eqnarray*}
\frac{f(b) - f(x)}{b -x} = f'(\xi_1) \leq 1 &\Rightarrow& f(b) - f(x) \leq b -x \\
& \Rightarrow & f(b) - b \leq f(x) - x
\end{eqnarray*}



και

\begin{eqnarray*}
\frac{f(x) - f(a)}{x -a} = f'(\xi_2) \leq 1 &\Rightarrow & f(x) - f(a) \leq x -a \\
&\Rightarrow & f(x) - x \leq f(a) - a.
\end{eqnarray*}



Λόγω της υπόθεσης έχουμε

\begin{displaymath}f(b) - b = f(a) - a\end{displaymath}

και άρα από τις παραπάνω ανισότητες έχουμε

\begin{displaymath}f(x) = f(a) +x -a, \;\; \forall x \in [α, b].\end{displaymath}

'Ασκηση 12 Υπόδειξη




Antonis Tsolomitis
1999-11-11