Λύση

Από τις σχέσεις $x+y = 1$ και $x, y > 0$ έχουμε ότι $y = 1- x.$ Θεωρούμε τη συνάρτηση $f : (0,1) \rightarrow {\mathbb R}$ με

$$f(x) = x \log x + (1 - x) \log (1 - x).$$

'Εχουμε

$$f'(x) = \log x - \log (1 - x) = \log \left(\frac{x}{1 - x}\right)$$

Είναι

$$f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x}{1 -x} \geq 1 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{2},$$

οπότε η $f$ είναι αύξουσα στο $[\frac{1}{2}, 1)$ και φθίνουσα στο $(0, \frac{1}{2}].$ ’ρα στο $\frac{1}{2}$ έχει ολικό ελάχιστο, δηλαδή

$$f(\frac{1}{2}) \leq f(x)\Leftrightarrow - \log 2 \leq x \log x + (1 - x) \log (1 - x).$$

Θέτοντας $y = 1 - x$ έχουμε τη ζητούμενη ανισότητα.

'Ασκηση 17 Υπόδειξη