next up previous
Next: 'Ασκηση 21 Up: 'Ασκηση 20 Previous: Υπόδειξη


Λύση

Θεωρούμε την συνάρτηση

\begin{displaymath}f(\theta) = \frac {(\cos \theta)^p} {\cos(p\theta)},\; 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2},\;
0 < p < 1,\end{displaymath}

(η οποία είναι καλώς ορισμένη). Επειδή $\cos \theta > 0,$ έχουμε

\begin{eqnarray*}
f'(\theta) &= & \frac{p (\cos \theta)^{p-1}}{\cos^2(p\theta)}[...
...ac{p (\cos \theta)^{p-1}}{\cos^2(p\theta)} \sin[(p-1)\theta] < 0
\end{eqnarray*}



για $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ και $0 < p < 1$ αφού $ \sin[(p-1)\theta] < 0$. Σύμφωνα με γνωστό θεώρημα η $f(\theta) $ είναι φθίνουσα και άρα

\begin{displaymath}f(\theta) \leq f(0) =1.\end{displaymath}

Από τη σχέση αυτή προκύπτει η ζητούμενη σχέση άμεσα.

'Ασκηση 20 Υπόδειξη




Antonis Tsolomitis
1999-11-11