Λύση

Επειδή τα $X, Y$ είναι μη κενά και άνω φραγμένα υποσύνολα του $\mathbb R$, σύμφωνα με το αξίωμα της πληρότητας, έχουμε ότι υπάρχουν οι αριθμοί $\sup X, \, \sup Y.$ Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\max \{\sup X, \sup Y \} = \sup X.$ 'Εστω $a\in X \cup Y.$ Τότε αν $a\in X$ θα είναι $a\leq \sup X$ και αν $a\in Y$ θα είναι $a\leq \sup Y \leq \max \{\sup X, \sup Y \} = \sup X.$ 'Αρα ο αριθμός $\sup X$ είναι ένα άνω φράγμα του $X \cup Y$, το οποίο είναι μη κενό αφού τα $X, Y$ είναι μη κενά. Σύμφωνα με το αξίωμα της πληρότητας θα έχει ελάχιστο άνω φράγμα, $\sup (X \cup Y)$, το οποίο θα δείξουμε ότι είναι ίσο με $\sup X.$ Είδαμε ότι ο αριθμός $\sup X$ αποτελεί άνω φράγμα του $X \cup Y$ και άρα από το αξίωμα της πληρότητας θα έχουμε

$$\sup(X \cup Y) \leq \sup X.$$

Για να έχουμε τη ζητούμενη ανισότητα αρκεί να δείξουμε ότι $\sup(X \cup Y) \geq \sup X.$ 'Εστω $x \in X,$ τότε $x \in X \cup Y$ και $x\leq \sup (X \cup Y)$ δηλαδή ο αριθμός $\sup (X \cup Y)$ είναι άνω φράγμα του συνόλου $X$ και άρα

$$\sup X \leq \sup (X \cup Y).$$

Από τα παραπάνω έχουμε το ζητούμενο.

'Ασκηση 6 Υπόδειξη