'Ασκηση 23

'Εστω $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $f(x) > 0$ και $f''(x)f(x) - [f'(x)]^2 > 0, \; x\in \mathbb R.$ Να δείξετε ότι η $$f'\over f$$ είναι γνησίως αύξουσα και ότι $f({{x+y}\over 2}) \leq \sqrt{f(x)f(y)}, \; x,y \in \mathbb R.$ Υπόδειξη Λύση