Λύση

$(i)$ Είναι

$$g'(x) = f'(x) e^{-2x} - 2 f(x) e^{-2x}, \;\; x \in \mathbb R$$

και

$$\begin{eqnarray*} g''(x) &=& f''(x) e^{-2x} - 2f'(x) e^{-2x} -2f'(x)e^{-2x} + 4f(x) e^{-2x} \\ &=& e^{-2x} (f''(x) - 4f'(x) + 4f(x)) > 0, \end{eqnarray*}$$

λόγω της υπόθεσης. 'Αρα η συνάρτηση είναι κυρτή λόγω γνωστού θεωρήματος.

$(ii)$ Από τη σχέση $g''(x) > 0,$ έχουμε ότι η $g'(x)$ είναι γνήσια αύξουσα, οπότε αν $x \leq x_0 \Rightarrow$ $g'(x) \leq g'(x_0) = 0 \Rightarrow$ η $g$ φθίνουσα στο $(-\infty, x_0] \Rightarrow$ $g(x) = f(x)e^{-2x} \geq g(x_0) =0$ $\Rightarrow f(x) \geq 0.$ Το ίδιο συμπέρασμα έχουμε και για $x \geq x_0$.

'Ασκηση 24 Υπόδειξη