Στοιχεία Θεωρίας

Ορισμός 7   Ονομάζουμε ακολουθία πραγματικών αριθμών μια συνάρτηση $a : \mathbb N \rightarrow \mathbb R$. Γράφουμε $a(n) = a_n, \; n\in \mathbb N$.

Ορισμός 8   Λέμε ότι η ακολουθία $a_n,\; n\in \mathbb N,$ συγκλίνει στο $a \in \mathbb R$, αν για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $n_0 \in \mathbb N$ ώστε να έχουμε $\vert a_n - a\vert < \varepsilon$ για κάθε $n \geq n_0$. Γράφουμε $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a,$ ή $a_n \to a, \; n \to \infty$. Αν μια ακολουθία δεν συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό λέμε ότι αποκλίνει.

Ορισμός 9   Λέμε ότι η ακολουθία $a_n$ συγκλίνει στο $+ \infty \; (-\infty)$, αν για κάθε $M\in\mathbb R$ υπάρχει $n_0 \in \mathbb N$ τέτοιο ώστε να έχουμε $a_n > Μ \;(a_n < M),$ για κάθε $n \geq n_0$. Γράφουμε $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty \; (-\infty)$ ή $a_n \to +\infty, \; (-\infty) \; n \to \infty$.

Ορισμός 10   Λέμε ότι η ακολουθία $a_n, \, n\in \mathbb N,$ είναι άνω φραγμένη, κάτω φραγμένη, φραγμένη, αν το σύνολο $\{a_n, \; n \in \mathbb N \}$ είναι άνω φραγμένο, κάτω φραγμένο, φραγμένο, αντίστοιχα.

Πρόταση 11 (Ιδιότητες ορίων ακολουθιών)  

(i) Aν $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$ και $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = b$ τότε $a = b\; (a, b \in \mathbb R \cup \{\pm \infty\}),$ (μοναδικότητα του ορίου).

(ii) Aν $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$ και $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = b$ τότε $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n + b_n) = a+ b \; (a, b \in \mathbb R)$.

(iii) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη.

(iv) Aν $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$ και $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = b$ τότε $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n b_n) = a b\; (a, b \in \mathbb R)$.

(v) Aν $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$ και $a, \, \lambda \in \mathbb R$ τότε $\lim\limits_{n \to \infty} \lambda a_n = \lambda a$.

(vi) Aν $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$ και $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = b \not = 0, \; (a, \, b \in \mathbb R),$ τότε υπάρχει $n_0 \in \mathbb N$, τέτοιο ώστε, για κάθε $n \geq n_0$ να έχουμε $b_n \not = 0$ και $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}.$

(vii) Aν $a_n \leq b_n \leq c_n, \; \forall n \in \mathbb N$ και $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \lim\limits_{n \to \infty}c_n = a\, \in \mathbb R$ τότε $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = a.$

(viii) Aν $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$ και η $b_n$ είναι φραγμένη τότε $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n b_n) = 0$.

(ix) Aν $a_n,\, a > 0$ και $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$ τότε $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt [k] a_n = \sqrt [k] a, \;\; k \in \mathbb N.$

Παρατήρηση. Η χρησιμότητα πολλών από τις προηγούμενες ιδιότητες βρίσκεται στην εύρεση ορίων χωρίς τον ορισμό, ανάγοντάς τα σε στοιχειώδη.

Ορισμός 12   'Εστω δύο ακολουθίες $a_n$ και $b_n$. Λέμε ότι η $b_n$ είναι υπακολουθία της $a_n$ αν υπάρχει μια γνήσια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών $k_n$ τέτοια ώστε $a_{k_n} = b_n$.

Ορισμός 13   Αν μια ακολουθία $a_n$ συγκλίνει (ή συγκλίνει στο $+ \infty$ ή στο $-\infty$) τότε κάθε υπακολουθία της συγκλίνει στο ίδιο όριο.

Ορισμός 14   Μια ακολουθία $a_n$ λέγεται αύξουσα (φθίνουσα) αν $a_{n+1} \geq a_n, \; ( a_{n+1} \leq a_n), \;\forall n \in \mathbb N.$

Ορισμός 15   Μια ακολουθία $a_n$ λέγεται γνήσια αύξουσα (γνήσια φθίνουσα) αν $a_{n+1} > a_n, \; ( a_{n+1} < a_n), \; \forall n \in \mathbb N$.

Ορισμός 16   Μια ακολουθία $a_n$ λέγεται μονότονη (γνήσια μονότονη) αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα (γνήσια αύξουσα ή γνήσια φθίνουσα).

Θεώρημα 17   Κάθε μονότονη και φραγμένη ακολουθία συγκλίνει.

Θεώρημα 18   Κάθε μονότονη και μη φραγμένη ακολουθία συγκλίνει στο $+ \infty$ ή στο $-\infty$ ανάλογα αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα.

Θεώρημα 19 (Bolzano - Weierstrass)   Κάθε φραγμένη ακολουθία έχει συγκλίνουσα υπακολουθία.

Ορισμός 20   Μια ακολουθία $a_n$ λέγεται ακολουθία Caychy αν για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $n_0 \in \mathbb N$ τέτοιος ώστε, να έχουμε $\vert a_n - a_m\vert < \varepsilon$ για κάθε $n, m \geq n_0.$

Θεώρημα 21   Μια ακολουθία $a_n$ συγκλίνει αν και μόνον αν είναι ακολουθία Cauchy.

Πρόταση 22   'Εστω η ακολουθία $a_n = a^n,\; n \in \mathbb N, \;a \in \mathbb R.$ Τότε

$$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \left \{\begin{array}{lll} ... ...; a = 1, \\ + \infty & \hbox {άν} \; a > 1. \end{array} \right.$$

Αν $a\leq -1$ τότε η ακολουθία αποκλίνει.

Πρόταση 23  

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt [n] n = 1.$$

Πρόταση 24   'Εστω η ακολουθία $a_n = \sqrt [n] a, \; a > 0.$ Τότε

$$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 1.$$

Πρόταση 25   'Εστω η ακολουθία $a_n, \; a_n > 0$ με $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a > 0$. Για $k \in \mathbb N$ έχουμε

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt [k] a_n = \sqrt [k] a .$$

Πρόταση 26  

$$\lim\limits_{n \to \infty} \Biggl ( 1+\frac{1}{n} \Biggr)^{n} = e,$$

όπου $e$ είναι ο αριθμός του Euler, $e = 2.714 \ldots$.