Λύση

Από την Αρχιμήδεια ιδιότητα των πραγματικών αριθμών έχουμε ότι για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει φυσικός $n_0$ τέτοιος ώστε $n_0 \varepsilon >1$, δηλαδή $$\frac{1}{n_0} <\varepsilon$$. Αν $n \in \mathbb N$ με $n > n_0$ τότε $$\frac{1}{n} < \frac{1}{n_0} < \varepsilon$$ και άρα για κάθε $\varepsilon >0$, υπάρχει φυσικός $n_0$, τέτοιος ώστε αν $n > n_0$ να έχουμε $$\frac{1}{n} <\varepsilon$$. Σύμφωνα όμως με τον ορισμό της σύγκλισης ακολουθιών αυτό σημαίνει ότι $$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$.

'Ασκηση 1 Υπόδειξη