Λύση

Έστω ότι η ακολουθία συγκλίνει στο $a$. Τότε σύμφωνα με τον ορισμό έχουμε ότι για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $n_0 \in \mathbb N$ τέτοιο ώστε, για κάθε $n \geq n_0$ να έχουμε $\vert a_n - a\vert < \varepsilon$. 'Ομως

$$\vert a_n - a\vert = \vert(-1)^n -a\vert = \left \{\begin{ar... ...\: \hbox{αν} \; \; n \;\; \hbox{περιττός.} \end{array} \right.$$

’ρα

$$\vert 1-a\vert < \varepsilon \; \hbox{και} \; \vert 1+a\vert < \varepsilon$$

ή ισοδύναμα

$$- \varepsilon < 1-a < \varepsilon \; \hbox{και} \; - \varepsilon < 1+a < \varepsilon$$

και άρα

$$-2 \varepsilon < 2 < 2\varepsilon.$$

Οπότε $1< \varepsilon$ που είναι άτοπο, αφού το $\varepsilon$ είναι τυχαίος θετικός αριθμός.

'Ασκηση 2 Υπόδειξη