Λύση

(Εύδοξος) Υποθέτουμε ότι $a \in \mathbb Q$. Τότε υπάρχουν $p,q \in \mathbb N$ τέτοιοι ώστε $$\frac{p}{q} = \sqrt 2$$ και οι οποίοι δεν διαιρούνται ταυτόχρονα με το 2. Επειδή $(\frac{p}{q})^2 = 2$ έχουμε ότι $$p^2 = 2q^2$$, άρα ο $p^2$ είναι άρτιος, οπότε και ο $p$ θα είναι άρτιος, έστω $p = 2k$. Αντικαθιστώντας έχουμε ότι $$4k^2 = 2q^2$$, άρα $$2k^2 = q^2,$$ οπότε ο $q^2$ είναι άρτιος, άρα και ο $q$ θα είναι άρτιος. ’τοπο αφού υποθέσαμε ότι οι $p,q$ δεν διαιρούνται ταυτόχρονα με το 2.

'Ασκηση Υπόδειξη