'Ασκηση 14

'Εστω ακολουθία $a_n,\; n\in \mathbb N,$ με $0 < a_1 < 1$ και $$a_{n+1} = 1 - \sqrt {1 - a_n},$$ $n = 1, 2, \ldots$. Αποδείξτε ότι η $a_n$ συγκλίνει στο $0$ και ότι $$\lim\limits_{ n \to \infty} {a_{n+1} \over a_n} = {1\over 2}.$$ Υπόδειξη Λύση