next up previous
Next: 'Ασκηση 2 Up: 'Ασκηση 1 Previous: Υπόδειξη


Λύση

Για $x \not =0$ έχουμε

\begin{displaymath}{{x\sin x}\over {x^2 +3}} = \frac{ {\frac{ \sin x}{x}}}{1+\frac{3}{x^2}}.
\end{displaymath}

Επειδή $\vert\frac{ \sin x}{x}\vert \leq \vert\frac{ 1}{x} \vert \to 0,\; x \to +\infty,$ έχουμε

\begin{displaymath}\displaystyle \lim\limits
_{x \to +\infty} \frac{ \sin x}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{3}{x^2}=0\end{displaymath}

και άρα σύμφωνα με τις ιδιότητες των ορίων των συναρτήσεων

\begin{displaymath}\lim\limits_{x \to \infty} {{x\sin x}\over {x^2 +3}}
= \lim\l...
...rac{ {\frac{ \sin x}{x}}}{1+\frac{3}{x^2}} = \frac{0}{1+0} = 0.\end{displaymath}

'Ασκηση 1 Υπόδειξη




Antonis Tsolomitis
1999-11-11