next up previous
Next: 'Ασκηση 4 Up: 'Ασκηση 3 Previous: Υπόδειξη


Λύση

Χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες $\sin x = \cos(x - \frac{\pi}{2}),\;\cos 2x = 1 - 2 \sin^2x$ έχουμε ότι

\begin{eqnarray*}
{{x - {\pi \over 2}}\over {\sqrt {1 - \sin x}}} &=&
{{x - {\pi...
...}}\over {\sqrt 2 \vert\sin (\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) \vert}}
\end{eqnarray*}



και άρα

\begin{displaymath}f(x) = \left \{\begin{array}{ll} {{x - {\pi \over 2}}\over {\...
...)}} & \: \hbox{αν} \; \; x < \frac{\pi}{2}. \end{array} \right.\end{displaymath}

Λόγω της μορφής της συνάρτησης βρίσκουμε τα πλευρικά όρια χρησιμοποιώντας το όριο $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$ Είναι

\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{x \to ({\pi \over 2} )^+} f(x) &=& \lim\limits_{x...
...& \lim\limits_{y \to 0^+}{ {2y}\over {\sqrt 2 \sin y }} =\sqrt 2
\end{eqnarray*}



και

\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{x \to ({\pi \over 2} )^-} f(x) &=& - \lim\limits_...
...im\limits_{y \to 0^-}{ {2y}\over {\sqrt 2 \sin y }} = - \sqrt 2.
\end{eqnarray*}



Τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά και άρα σύμφωνα με γνωστό θεώρημα δεν υπάρχει το όριο.

'Ασκηση 3 Υπόδειξη




Antonis Tsolomitis
1999-11-11