Λύση

Θεωρούμε τις ακολουθίες

$$x_n = \frac{1}{n\pi} \; \hbox {και}\; y_n = \frac{1}{(2n+\frac{1}{2})\pi}.$$

Προφανώς έχουμε ότι $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = \lim\limits_{n \to \infty} y_n = 0$ ενώ

$$\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = \lim\limits_{n \to \infty} \sin (n\pi) = 0$$

και

$$\lim\limits_{n \to \infty} f(y_n) = \lim\limits_{n \to \infty} \sin (2n +\frac{1}{2})\pi = 1.$$

’ρα, σύμφωνα με γνωστό θεώρημα έχουμε ότι το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει.

'Ασκηση 6 Υπόδειξη