Το εσωτερικό του δοθέντος συνόλου είναι το

                                            Α = {(x, y) : -1<x<1, -1<y<1 }

και το συνορό του οι πλευρές του τετραγώνου.

Επειδή gradf(x, y) = (1, -1) η f δεν έχει κριτικά σημεία. Άρα τα σημεία μεγίστου και ελαχίστου της f ευρίσκονται στο σύνορο. (το θεώρημα 1 εγγυάται την ύπαρξή τους).

Έχουμε τις εξής περιπτώσεις

x =1, -1£ y £ 1, f(1, y)=1-y,    μέγιστο στο     (1, -1),     f(1, -1) = 2,

                                                 ελάχιστο στο     (1, 1),     f(1, 1) = 0

x = -1 -1£ y £ 1, f(-1, y) = -1-y,     μέγιστο στο     (-1, -1),     f(-1, -1) = 0,

                                                       ελάχιστο στο     (-1, 1),     f(-1, 1) = -2

y =1, -1£ x £ 1, f(x, 1)=x-1,     μέγιστο στο     (1, 1),     f(1, 1) = 0,

                                                 ελάχιστο στο     (-1, 1),     f(-1, 1) = -2

y = -1, -1£ x £ 1, f(x, -1)=x+1,     μέγιστο στο     (1, -1),     f(1, -1) = 2,

                                                     ελάχιστο στο     (-1, -1),     f(-1, -1) = 0

Άρα η f έχει μέγιστο στο (1, -1) με f(1, -1) = 2 και ελάχιστο στο (-1, 1) με f(-1, 1) = -2

[Επιστροφή]