KEÖÁËÁÉÏ 14

 

ÐÏËËÁÐËÁÓÉÁÓÔÅÓ LAGRANGE

 

¸óôù g ìéá óõíå÷þò äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç ôñéùí ìåôáâëçôþí êáé f ìéá óõíå÷þò äéáöïñßóéìç óõíÜñôçóç ïñéóìÝíç óôï áíïéêôü U ôï ïðïßï ðåñéÝ÷åé ôçí åðéöÜíåéá g(X)=0. ÈÝëïõìå íá âñïýìå ôá óçìåßá Ñ ðÜíù óôçí åðéöÜíåéá g(X)=0 óôá ïðïßá ç f Ý÷åé áêñüôáôï.

Èåþñçìá: ¸óôù S ôï óýíïëï ôùí óçìåßùí × ðïõ éêáíïðïéïýí g(X)=0 êáé gradg(X)0. Aí ôï Ñ åßíáé Ýíá óçìåßï óôï ïðïßï ç f áêñüôáôï óôï S ôüôå õðÜñ÷åé ðñáãìáôéêüò ë ô.ù.

gradf(P) = ëgradg(P).

Aõôü óçìáßíåé üôé ãéá íá âñïýìå ôá áêñüôáôá ôçò f ðñÝðåé íá âñïýìå üëá ôá óçìåßá ðïõ éêáíïðïéïýí ôçí ðáñáðÜíù åîßóùóç êáé ìåôá íá óõãêñßíïõìå ôéò ôéìÝò ôçò f ó´áõôÜ ôá óçìåßá. Áí õðÜñ÷åé ðåðåñáóìÝíïò áñéèìüò óçìåßùí × ìå gradg(X)=0 ôüôå óõãêñßíïõìå ôéò ôéìÝò ôçò f ó´áõôÜ ôá óçìåßá ìå áõôÝò ðïõ âñÞêáìå ðñïçãïõìÝíùò.

Ôá ðáñáðÜíù éó÷ýïõí êáé ãéá n ìåôáâëçôÝò.

 

ÁóêÞóåéò

1. Íá õðïëïãßóåôå ôï åëÜ÷éóôï ôçò óõíÜñôçóçò f(x,y) = xy ðÜíù óôï óýíïëï x-y=1. [Ëýóç]

2. Íá âñåßôå ôéò äéáóôÜóåéò êõëéíäñéêïý äï÷åßïõ ìå êáðÜêé ðïõ Ý÷åé ôçí åëÜ÷éóôç äõíáôÞ åðéöÜíåéá êáé ÷ùñÜåé áêñéâþò Ýíá ëßôñï íåñïý. [Ëýóç]

3. Íá åõñåèïýí ôá áêñüôáôá ôçò óõíÜñôçóçò f(x,y,z) = x2-y+z ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò x2+y2=1/4 êáé x-z=1. [Ëýóç]

 

[Ðåñéå÷üìåíá]