Λύση άσκησης
1(3x2+2y2+1, 4xy)
Έστω ότι
Τότε f(x, y) = x3 + 2xy2 + x + k(y), k μια συνάρτηση του y. Παραγωγίζοντας ως προς y παίρνουμε
Αν τώρα διαλέξουμε k'(y) = 0 (δηλαδή η k είναι σταθερή) βλέπουμε ότι η συνάρτηση f(x, y) = x3 + 2xy2 + x + c, c σταθερά, είναι μια συνάρτηση δυναμικού για το διανυσματικό πεδίο.
(x2y, y2x)
Παρατηρούμε ότι
άρα από το θεώρημα 2 το διανυσματικό πεδίο δεν έχει συνάρτηση δυναμικού.
exy(2x+yx2, x3)
Έστω
Τότε
f(x, y) = x2exy + k(y), k μια συνάρτηση του y. Παραγωγίζοντας ως προς y παίρνουμεΑν τώρα διαλέξουμε
k'(y) = 0 (δηλαδή η k είναι σταθερή) βλέπουμε ότι η συνάρτηση f(x, y) = x2exy + c, c σταθερά, είναι μια συνάρτηση δυναμικού για το διανυσματικό πεδίο.
