Έστω U Rⁿ ένα ανοικτό σύνολο. Ένα διανυσματικό πεδίο (συντ. δ.π.) στο U είναι μια συνάρτηση F : U ® Rⁿ. Mια συνάρτηση f : U ® R θα λέγεται συνάρτηση δυναμικού της F αν F(X) = grad f(X) για κάθε Χ στο U.

Θα ασχοληθούμε με δύο ερωτήματα:

1. Δοθείσης F, υπάρχει συνάρτηση δυναμικού της;
2. Αν υπάρχει είναι μοναδική;

Έστω A, B σημεία του U. Θα λέμε ότι τα Α, Β ενώνονται με μία καμπύλη αν υπάρχει (παραγωγίσιμη) καμπύλη C: [a, b]® U τ.ω. C(a) = A, C(b) = B.

To U θα λέγεται συνεκτικό αν κάθε δύο σημεία του ενώνονται με μια καμπύλη.

Θεώρημα 1: (μοναδικότητα) Έστω f, g δύο συναρτήσεις στο ανοικτό συνεκτικό U με

gradf(Χ)= gradg(Χ) για κάθε Χ στο U. Τότε υπάρχει σταθερά λ τ.ω. f(Χ) = g(Χ) + λ για κάθε Χ στοU.

Το επόμενο θεώρημα μας λέει πότε η απάντηση στο πρώτο ερώτημα είναι αρνητική.

Θεώρημα 2: Έστω f, g δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις με συνεχείς μερικές παραγώγους στο UR². Aν

τότε το δ.π. F(x, y) = (f(x, y), g(x, y)) δεν έχει συνάρτηση δυναμικού.

Το παρακάτω θεώρημα μας λέει πότε η απάντηση στο πρώτο ερώτημα είναι θετική.

Θεώρημα 3: Έστω f, g δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις με συνεχείς μερικές παραγώγους σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο (ή σε ένα κύκλο ή σε μια έλλειψη) στο R². Aν

τότε το δ.π. F(x, y) = (f(x, y), g(x, y)) έχει συνάρτηση δυναμικού.

μπορούμε να αποδείξουμε ότι όταν οι f, g, h είναι ορισμένες σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στον R³ τότε για να έχει το δ.π. F = (f, g, h) συνάρτηση δυναμικού πρέπει να ισχύουν οι συνθήκες

1. Ποιά από τα παρακάτω δ.π. έχουν συνάρτηση δυναμικού στο U=R²;

                (3x²+2y²+1, 4xy), (x²y, y²x), e^xy(2x+yx², x³) [Λύση]

2. Έστω f(x, y) = arctan(y/x) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που δεν τέμνει τον άξονα των x. Nα υπολογίσετε το gradf. [Λύση]

3. Έστω r = || X || και g μια παραγωγίσιμη συνάρτηση δύο μεταβλητών. Να δείξετε ότι το δ.π.

ορισμένο στο R² \ {0} έχει συνάρτηση δυναμικού. [Λύση]

[Περιεχόμενα]