KEΦΑΛΑΙΟ 5

'Εστω Χ: [a, b]® Rⁿ μια καμπύλη με συνεχή παράγωγο Χ'. Μπορούμε να σκεπτόμαστε την Χ σαν την τροχιά ενός κινητού που την χρονική στιγμή t έχει ταχύτητα S(t) = ||X'(t)||.

Ορισμός: Το μήκος της καμπύλης Χ από t=a έως t=b είναι

 Έτσι αν n=3 και Χ(t) = (x(t), y(t), z(t)), τότε το μήκος της καμπύλης Χ από t=a έως t=b είναι

 Παρατήρηση: Στην περίπτωση που η Χ' είναι κατά τμήματα συνεχής, τότε το μήκος της καμπύλης είναι ένα πεπερασμένο άθροισμα ολοκληρωμάτων με όρια ολοκλήρωσης τα άκρα των διαστημάτων όπου η Χ' είναι συνεχής.

1. Να υπολογίσετε το μήκος της σπείρας Χ(t)=(cost, sint, t) απο t=0 έως t=1. [Λύση]

2. Έστω c: [a, b]® R³ μια καμπύλη και s=e(t) μια νέα μεταβλητή όπου η e είναι μια γνησίως αύξουσα C¹ συνάρτηση ορισμένη στο [a, b]. Γιά κάθε s[e(a), e(b)] υπάρχει μοναδικό t[a, b] με e(t)=s. Ορίζουμε τη συνάρτηση d: [e(a), e(b)] ® R³ με d(s)=e(t).

    (i)     Aποδείξτε ότι οι εικόνες των c,d ταυτίζονται.

    (ii)    Να δείξετε ότι οι c, d έχουν το ίδιο μήκος.

    (iii)   Έστω

Oρίζουμε την d όπως παραπάνω. Να δείξετε ότι ||d'(s)||=1. Η d λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της c. [Yπόδειξη] [Λύση]

3. Έστω σ: [a, b] ]® R³ μια C¹ καμπύλη με σ'(t)0 για κάθε t. To διάνυσμα

εφάπτεται στην σ στο σημείο σ(t) και λέγεται μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα της σ.

    (i)    Να δείξετε ότι Τ'(t)· T(t)=0

    (ii)   Να υπολογίσετε το Τ' συναρτήσει της σ. [Υπόδειξη] [Λύση]

[Περιεχόμενα]