Έστω Φ(u, v) η (λεία) παραμετρικοποίηση μιας επιφάνειας Σ, (u, v)Α, ΑR². Αν η f είναι μια ομαλή συνάρτηση ορισμένη στην Σ με τιμές στο R, τότε το ολοκλήρωμα της f στην Σ είναι το

Υποθέτουμε τώρα ότι η επιφάνεια περιέχεται σε ένα ανοικτό υποσύνολο Ζ του R³ και F είναι ένα διανυσματικό πεδίο πάνω στο Ζ. Έστω n = n(u, v) το εξωτερικό μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια. Τότε το ολοκλήρωμα του διανυσματικού πεδίου F πάνω στην Σ είναι το

1. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x, y, z) = x² πάνω στην μοναδιαία σφαίρα. [Υπόδειξη] [Λύση]

Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) A.

(ι) Αν

να δείξετε ότι το εμβαδόν της Σ είναι

Ποιό είναι το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f πάνω στην Σ με την χρήση του παραπάνω τύπου;

(ιι) Πως γράφεται ο παραπάνω τύπος αν c = 0 ;

(ιιι) Να υπολογίσετε το εμβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας ακτίνας 1 χρησιμοποιώντας τα (ι) και (ιι). [Λύση]

[Περιεχόμενα]