Έστω Σ μια προσανατολισμένη επιφάνεια η οποία έχει σύνορο την καμπύλη C η οποία είναι προσανατολισμένη έτσι ώστε η Σ να ευρίσκεται αριστερά της. Έστω επίσης F ένα C¹ διανυσματικό πεδίο ορισμένο σε ένα ανοικτό σύνολο που περιέχει την Σ.

Το θεώρημα του Stokes: Έστω Σ, C, F όπως παραπάνω και n το μοναδιαίο εξωτερικό κάθετο διάνυσμα στην Σ. Τότε

(το πρώτο ολοκλήρωμα είναι επιφανειακό και το δεύτερο επικαμπύλιο).

Παρατήρηση: συμβουλευθείτε το διδακτικό σας βιβλίο για την σχέση του n με τον προσανατολισμό της C. Στο βιβλίο "Διανυσματικός Λογισμός" των Marsden – Tromba, σελ. 517, υπάρχει αυτή η σχέση καθώς και ένα σχήμα το οποίο βοηθά στην κατανόησή της.

όπου Σ είναι το ημισφαίριο x² + y² + z² =1, x ³ 0, και F = (z²³y⁷⁸, y³, z³). [Λύση]

2. Να επαληθεύσετε το θεώρημα του Stokes στην περίπτωση που η Σ είναι η επιφάνεια x =16 - z² – y² , x ³ 0, και F(x, y, z) = (xy, z, 2y). [Λύση]

[Περιεχόμενα]