Λύση άσκησης 2

Πως γίνεται ένα σχήμα: στο επίπεδο xz ζωγραφίζουμε την υπερβολή x2 – z2 = 16 την οποία περιστρέφουμε γύρω από τον άξονα των z για να πάρουμε το υπερβολοειδές. (αυτό γίνεται διότι για σταθερό z, το σύνολο των x, y που ικανοποιούν την εξίσωση x2 + y2 – z2 = 16 είναι ένας κύκλος).

Η προηγούμενη παρατήρηση μας οδηγεί σε μια παραμετρικοποίηση ως εξής: θεωρούμε σαν μια μεταβλητή το z. Τότε για μια δεδομένη τιμή του z έχουμε ότι x2 + y2 = 16 + z2 άρα είναι φυσικό να θέσουμε

Έτσι η επιφάνεια παραμετρικοποιείται από την συνάρτηση

(ι) Θα υπολογίσουμε την εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου στο (4, 4, 4) με την χρήση της παραπάνω παραμετρικοποίησης. Παρατηρούμε ότι

Άρα

Το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια είναι το

και η εξίσωση του επιπέδου είναι η x + y - z = 4.

(ii) To κάθετο διάνυσμα στην ισοσταθμική επιφάνεια στο σημείο (4, 4, 4) είναι το f(4, 4, 4). Επειδή f = (2x, 2y, -2z), το κάθετο διάνυσμα σ΄αυτό το σημείο είναι το (8, 8, -8) και η εξίσωση του επιπέδου η 8x + 8y – 8z = (4, 4, 4)· (8, 8, -8) = 32 ή x + y –z = 4.

(iii) Εδώ έχουμε την επιφάνεια

και θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο αυτού του κεφαλαίου.

Άρα

Άρα η εξίσωση του επιπέδου είναι –x – y +z = (-1, -1, 1)(4, 4, 4) = 4, ή x + y – z = 4.

[Επιστροφή]